Œзбекистон республикаси олий ва œрта

29-маъруза
Интеграллаш усуллари. Содда касрларни интеграллаш


1⁰. Ўзгарувчини алмаштириб интеграллаш усули.
Фараз қилайлик, функциянинг аниқмас интеграли
(1)
берилган бўлиб,уни ҳисоблаш талаб этилсин.
Кўпинча, ўзгарувчи ни маълум қоидага кўра бошқа ўзгарувчига алмаштириш натижасида берилган интеграл содда интегралга келади ва уни ҳисоблаш осон бўлади.
Айтайлик, (1) интегралдаги ўзгарувчи янги ўзгарувчи билан ушбу

муносабатда бўлиб, қуйидаги шартлар бажарилсин:
1) функция дифференциалланувчи бўлсин;
2) функция бошланғич функция га эга, яъни
(2)
3) функция қуйидагича
(3)
ифодалансин.
У ҳолда

бўлади.
◄Мураккаб функциянинг ҳосиласини ҳисоблаш қоида-сидан фойдаланиб, (2) ва (3) муносабатларни эътиборга олиб топамиз:
.
Бундан

бўлиши келиб чиқади. ►
Шу йўл билан (1) интегрални ҳисоблаш ўзгарувчини алмаштириб интеграллаш усули дейилади.
Бу усулда, ўзгарувчини жуда кўп муносабат билан алмаштириш имконияти бўлган ҳолда улар орасидан қаралаётган интегрални содда, ҳисоблаш учун қулай ҳолга келтирадиганини танлаб олиш муҳимдир.


1-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄Бу интегрални ўзгарувчисини алмаштириб ҳисоблаймиз:
►
2-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄Аввало берилган интегрални қуйидагича

ёзиб оламиз. Бу интегрални ўзгарувчини алмаштириш усули-дан фойдаланиб ҳисоблаймиз:
►
3-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄ Равшанки,

Унда

бўлиб,

бўлганлиги сабабли

бўлади.
Агар

бўлишини эътиборга олсак, унда

эканини топамиз. ►
4-мисол. Ушбу

интеграл ҳисоблансин.
◄Интегралда ўзгарувчини қуйидагича алмаштирамиз:
.
Унда




бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади.
Натижада
(4)
бўлишини топамиз.►