|
2
-
фараз
.
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
квадрат тенглама илдизлари манфий бўлиши
учун
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0, 𝑎𝑐 > 0
ва
𝑎𝑏 > 0
шартларнинг бажарилиши зарур ва
етарли.
3-фараз
.
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
квадрат тенглама илдизлари турли ишорали
бўлиши учун
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0
ва
𝑎𝑐 < 0
шартларнинг бажарилиши зарур ва
етарли.
Асосий муаммога қайтамиз. Умумий ҳолда Виет теоремасидан
фойдаланиб бўлмайди. Аммо квадрат тенглама билан квадрат функциянинг
ноллари орасидаги боғланиш маълум. Шу сабабли Виет теоремаси билан
бажарган мулоҳазаларни квадрат функциянинг графигида кўрамиз. Маълумки
квадрат функциянинг графиги парабола бўлади. Квадрат учҳад
коэффициентлари ёрдамида унинг учининг координаталари, сонлар ўқлари
билан кесишиш нуқталари аниқланади. Юқоридаги мулоҳазалардаги
𝑐
𝑎
, −
𝑏
𝑎
сонларга қандай геометрик талқин бериш мумкин? Бунинг учун ушбу
𝑓(𝑥) =
𝑥
2
+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
функцияни қарайлик. Фараз қилайлик, бу функциянинг графиги
абсциссалар ўқини унинг мусбат қисмида кесиб ўтсин. У ҳолда параболанинг
учи тўртинчи чоракда, параболанинг бир тармоғи ординаталар ўқини юқори
ярим текисликда кесиб ўтади. Бу дегани
𝑐
𝑎
= 𝑓(0) > 0, −
𝑏
2𝑎
> 0
.
Энди шу ғоялардан ушбу масалани ечишда фойдаланишга ҳаракат
қиламиз.
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
квадрат тенглама илдизлари қандай шартлар
бажарилганда берилган
𝑑 ≠ 0
сондан катта бўлади? (иккала илдизи ҳам
𝑑
нуқтанинг ўнг томонида жойлашади?).
Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель
348
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
функция графигини таҳлил қилган ҳолда қуйидаги
фаразни шакллантириш мумкин:
Фараз.
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 > 0)
квадрат тенгламанинг илдизлари
берилган
𝑑 ≠ 0
сондан катта бўлиши учун
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0, 𝑓(𝑑) > 0
ва
−
𝑏
2𝑎
>d тенгсизликларнинг ўринли бўлиши зарур ва етарли.
Фаразни исботлаш. Зарурийлиги.
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 > 0)
квадрат
тенгламанинг илдизлари
𝑥
1
, 𝑥
2
ва
𝑥
2
> 𝑥
1
> 𝑑
бўлсин (бу илдизлар тенг
бўлиши ҳам мумкин). У ҳолда
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0, 𝑓(𝑑) > 0
ва
−
𝑏
2𝑎
>d
тенгсизликларнинг ўринли бўлишини кўрсатишимиз керак.
Тенглама илдизларининг мавжуд эканлигидан
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0
тенгсизлик келиб чиқади.
𝑎 > 0
ва
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0
бўлганлиги сабабли
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
квадрат функция
(𝑥
1
, 𝑥
2
)
интервал ташқарисида мусбат
қийматлар қабул қилади, демак
𝑓(𝑑) > 0
бўлади. Энди
𝑥
1
> 𝑑, 𝑥
2
> 𝑑
тенгсизликларни қўшамиз, у ҳолда
𝑥
1
+ 𝑥
2
> 2𝑑
. Бундан
𝑥
1
+𝑥
2
2
> 𝑑
тенгсизлик
келиб чиқади.
𝑥
1
+𝑥
2
2
нинг парабола учининг абсциссаси эканлигини эътиборга
олсак,
𝑥
1
+𝑥
2
2
= −
𝑏
2𝑎
> 𝑑
тенгсизликка эга бўламиз.
Энди етарлилигини исботлаймиз, яъни
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0,
𝑓(𝑑) > 0
ва
−
𝑏
2𝑎
> 𝑑
тенгсизликлар ўринли бўлганда
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 > 0)
квадрат
тенглама илдизлари берилган
𝑑
сондан катта бўлишини исботлаш керак.
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0
шартдан квадрат тенгламанинг илдизлари мавжуд
эканлиги келиб чиқади. Бу илдизларни
𝑥
1
, 𝑥
2
ва
𝑥
1
< 𝑥
2
бўлсин деб фараз
қиламиз.
𝑎 > 0, 𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0, 𝑓(𝑑) > 0
тенгсизликлардан
𝑑
нуқта
(𝑥
1
, 𝑥
2
)
интервалдан ташқарисида ётиши келиб чиқади (
𝑥
1
= 𝑥
2
бўлганда
𝑑
нуқта
илдизнинг чап ёки ўнг томонида жойлашган бўлади). Агар
𝑥
2
< 𝑑
деб фараз
қилсак, у ҳолда
𝑥
1
+𝑥
2
2
= −
𝑏
2𝑎
< 𝑑
муносабатга эга бўламиз. Бу эса
−
𝑏
2𝑎
> 𝑑
шартга зид. Тасдиқ исбот бўлди.
Натижада қуйидаги теорема шакллантирилади:
Теорема
.
𝑎𝑥
2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 (𝑎 > 0)
квадрат тенгламанинг илдизлари
берилган
𝑑 ≠ 0
сондан катта бўлиши учун
𝐷 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐 ≥ 0, 𝑓(𝑑) > 0
ва
−
𝑏
2𝑎
>d тенгсизликларнинг ўринли бўлиши зарур ва етарли.
Талабаларга квадрат тенглама илдизларининг берилган
𝑑
сонга
нисбатан жойлашиш вариантларини санаб чиқиш ва ҳар бир ҳол учун
Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель
349
юқоридагига ўхшаш бошқа фаразларни шакллантириш ва исботлаш таклиф
қилинади.
Ўқув тадқиқий фаолиятнинг муҳим босқичларидан бири олинган
натижалардан келгусида фойдаланиш ёки бу тадқиқотни давом эттириш
йўллари ҳақида хулоса қилишдир. Юқорида олинган натижаларни параметр
қатнашган тенгламаларни ечишда фойдаланиш мумкин. Масалан, қуйидаги
масалани қараймиз.
Масала.
𝑥
2
+ 𝑥 + 𝑎 = 0
тенгламанинг илдизлари
𝑎
дан катта бўладиган
𝑎
нинг барча қийматларини топинг.
Ечиш. Юқоридаги теоремага кўра
𝐷 = 1 − 4𝑎 ≥ 0
,
𝑓(𝑎) = 𝑎
2
+ 2𝑎 > 0
ва
−
1
2
> 𝑎
шартларнинг бажарилиши зарур ва етарли. Бу шартлардан
𝑎 < −2
эканлигини осон топиш мумкин.
Аниқ фанларни ўқитишни модернизациялаш: инновацион таълимнинг янги моделлари ва амалиёти, 2020 йил 17 апрель
350
Do'stlaringiz bilan baham: |
