Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги низомий номидаги тошкент давлат

TRIGONOMETRIK FUKNKSIYALARNING 
CHEGARALANGANLIGIDAN FOYDALANIB GEOMETRIK 
TENGSIZLIKLARNI ISBOTLASH 
 
Xujayev A. – Nizomiy nomidagi TDPU 
Djabbarova M.D. – Respublika ixtisoslashtirilgan dizayn maktabi 
 
Mazkur ishda sinus va kosinus funksiyalarning xossalaridan foydalanib 
isbotlanadigan hamda musbat sonlarning o’rta qiymatlari uchun o’rinli bo’lgan 
algebraik tengsizliklardan kelib chiqadigan ba’zi geometrik tengsizliklar 
o’rganilgan.
Geometrik tengsizliklarni isbotlashda sinus va kosinus fuknksiyalarning 
1 sin
1
x
 

hamda 
1 cos
1
x
 

xossalaridan foydalanish mumkin. 
Masala 1.
Qavariq to’rtburchakning diagonallari 
1
d
va 
2
d
ga teng bo’lsa, 
uning yuzi
1
2
1
2
S
d d sin



, bu yerda 

to’rtburchakning 
1
d
va 
2
d
diagonallari 
orasidagi burchak snius funksiyaning xossasidan, har qanday qavariq to’rtburchakda 
1
2
2
S
d d
 
ekanligi kelib chiqadi. Ushbu tengsizlikda tenglik belgisi 
1
d
va 
2
d
perpendikulyar, ya’ni 
sin
1


bo’lganda va faqat shu holdagina o’rinli bo’ladi. 
Masala 2.
Uchburchak kosinuslar teoremasidan
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab



bo’ladi. 
Yuqoridagi 
tengsizlikdan 
hamda 
kosinus 
funksiyaning 
hossasidan
2
2
2
1
1
2
a
b
c
ab


 

bo’ladi. Ushbu qo’sh tengsizlikning chap qismi 


2
2
c
a
b


tengsizlikka yoki 
c
a b
 
tengsizlikka ekvivalent bo’ladi. Tengsizlikning o’ng qismi


2
a b
c


yoki 
a b
c
 
tengsizlikka teng kuchli bo’ladi. Bulardan uchburchak 
tengsizliklari 
a
b c
 
yoki 
b
a c
 
ekanligi kelib chiqadi.