Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги мирзо улуғбек номидаги ўзбекистон миллий университети математика факультети

2.4.1.ГОМОТЕТИЯНИНГ ТАЪРИФИ
ВА НУКТАНИ ГОМОТЕТИК Акслантириш
1-таъриф. 5 нуцта ва k =/= 0 сон берилган булса, S дан бошца х,ар цандай М
нуцтага куйидаги шартларни цаноатлантирувчи М' нуцтани мос келтирувяи
алмаштириш гомотетик алмаштириш ёки гомотетия деб аталади: 1) М' нукта
SM тугри чизикда ётади; 2) SM':SM = \k\ ёки SM' = \k\SM ;
3) k мусбат булганда, М ' ва М нукталар S нуктадан бир тарафда ётади; k
манфий булганда эса М' ва М нукталар S нуктадан турли тарафларда ётади.
М ' нукта М нуктага гомо­етик мос (ёки, кискача, гомотетик) нукта деб
аталади. 118-чизмада М ' нукта М нуктага k = мусбат коэффициент SM" билан, М" нукта эса М нуктага kx — — манфий коэффициент билан гомотетик мосдир.Бундаги S нукта гомотетия маркази ва k эса гомотетия коэффициенти деб аталади.
Гомотетия маркази — S уз-узига алмашади деб кабул этилади. М нуктани S
марказга нисбатан берилган k ф 0 коэффициент буйича гомотетик
алмаштириб, М' нуктани досил килиш— гомотетия (ёки ухшаш алмаштириш)
дейилади ва уни кискача куйидаги символ билан курсатишни шарт киламиз:
Г И ] * = М'. булган долдаги гомотетик алмаштириш тугри гомотетия дейилиб,
бу долда 5 марказ тугри гомотетия маркази (ёки ташки ухшашлик маркази)
дейилади; &«<0 булган долдаги гомотетик алмаштириш эса тескари
гомотетия дейилиб, бундаги S марказ тескари гомотетия маркази (ёки ички
ухшашлик маркази) деб аталади.
2-таъриф. F фигурани ташкил этувяи %амма нуцталарни берилган S
марказ ва берилган k ф 0 коэффициент билан гомотетик алмаштиришдан
jfосил булган нуцталар туплами F фигурага г о м о т е т и к (перспектив
ухшаш) ф и г у р а дейилади ва F' билан белгиланади. Биз буни символик
равишда куйидагича ёзамиз: Г [F\*=Fr- Нуктани гомотетик алмаштиришга
мисоллар.
118-чизмада берилган М нуктани ундаги 5 марказга нисбатан k — 2
коэффициент буйича алмаштиришдан досил булган УИ, нукта 5 ^ ! = 2SM
талабга жавоб беради ва М г нукта SM тугри чизикда ва М нукта билан S дан
бир тарафда ётади. Шунингдек, М ва М х нукталарни 5 марказга нисбатан
турли коэффициентлар билан гомотетик алмаштирилса, куйидагича булади
(118-чизма): г [М]1^М2; Г [М]* = М,; _1_ Г [ Ж ] 7 ^ / И 4; Г =г [М]** =MS; Г
Их]'2 =М2; Г[М]-2 = М6; 1
Топширик
Агар M lt М % М3, Mi, М 5 нукталар гомотетия маркази 5 дан чиккан
нурда ётиб SMx — Л4,М2 = М2М 3 = -g M3Mt = 3MtMb булса, бу нукталар­
дан дар бирини иккинчисига гомотетик алмаштирувчи гомотетия коэффи-
циентини топинг.
1) Гомотетия бир цийматли алмаштиришдир, яни ушбу алмаштиришдаги:
М' образга биттагина М прообраз мос келади ва аксинча Хакицатан, агар
текисликнинг бирор М нуктасига М ' нуктадан бошка яна бирор нуктаси
гомотетияда мос келади деб фараз цилсак, бу долда куйидаги
муносабатлар мавжуд булади: Бу эса Mj ва М' ларнинг биттагина
нукталигини курсатади.
Шунинг учун гомотетия — бир кийматли алмаштириш булади.
2) Бирор S марказга нисбатан бажарилган дамма гомотетиялар туплами
шу гомотетияларни купайтиришга нисбатан коммутатив группа тузади. Буни
курсатиш учун § 23 даги группалар аксиомаларини гомотетияга нисбатан
татбик этиш керак. I. Г [-М]*1 = (Л) ва Г [М'\J2 = М ” . . . (В) маълум булсин.
(Л ) дан 5, М, М! нукталар бир тугри чизикда ва (В) дан 5, М', М" нукталар
дам бир тугри чизикда ётганлиги аник. Аммо бошка-бошкадек сезилган бу
иккита тугри чизиклар иккита умумий 5 ва М' нукталарга эга. Демак, улар
битта тугри чизикдан иборатдир. Шунинг учун 5, М, М" нукталар дам ана шу
бир чизикда ётади. SM' , , , SM" , . SM" SM'келиб чщади. Бу эса М" нуктанинг
М нуктага 5 марказга нисбатан k = k1-k2 коэффициент буйича гомотетик
эканини курсатади.