Ўзбекистон республикаси ахборот технологиялари ва коммуникацияларини ривожлантириш вазирлиги муҳаммад ал-хоразмий номидаги

q
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
С



2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
2,10
2,11
2,12
2,13
2,14
2,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
3,10
3,11
3,12
3,13
3,14
3,15
2
2
2
2
2
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
|
|
|
|
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
 


2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
4,10
4,11
4,12
4,13
4,14
4,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
5,10
5,11
5,12
5,13
5,14
5,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6,0
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
6,7
6,8
6,9
|
|
|
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
2
2
2
2
2
2
6,10
6,11
6,12
6,13
6,14
6,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7,0
7,1
7,2
7,3
7,4
7,5
7,6
7,7
7,8
7,9
7,10
7,11
7,12
7,13
7,14
7,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8,0
8,1
8,2
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
8,
|
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c





  
2
2
2
2
2
2
10
8,11
8,12
8,13
8,14
8,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
9,8
9,9
9,10
9,11
9,12
9,13
9,14
9,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
10,0
10,1
10,2
10,3
10,4
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
10,10
10,11
10,12
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
2
2
2
10,13
10,14
10,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11,0
11,1
11,2
11,3
11,4
11,5
11,6
11,7
11,8
11,9
11,10
11,11
11,12
11,13
11,14
11,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
12,0
12,1
12,2
12,3
12,4
12,5
12,6
12,7
12,8
12,9
12,10
12,11
12
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
2
2
2
2
,12
12,13
12,14
12,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
13,0
13,1
13,2
13,3
13,4
13,5
13,6
13,7
13,8
13,9
13,10,
13,11
13,12
13,13
13,14
13,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
14,0
14,1
14,2
14,3
14,4
14,5
14,6
14,7
14,8
14,9
14,10
14,1
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
2
2
2
2
2
1
14,12
14,13
14,14
14,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
15,0
15,1
15,2
15,3
15,4
15.5
15,6
15,7
15,8
15,9
15,10
15,11
15,12
15,13
15.14
15,15
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c






























































Матрицы такого вида могут быть положены в основу процесса вычисления 
двумерного октавного спектра энергии коэффициентов, например, ортонормированной 
системы Хаара. Обозначим части энергии, относящиеся к отдельным октавам, следующим 
образом: 


2
2
2
2
1
00
01
10
11
;
w
E
c
c
c
c




 
3
3
2
2
2
2
;
W
ik
i
k
E
c




(3) 
 
7
7
2
3
4
4
;
w
ik
i
k
E
c




 
15
15
2
4
8
8
.
w
ik
i
k
E
c




Общая энергия октав вейвлет-спектра с учетом масштабов, относящихся к разным 
октавам, должна вычисляться по формуле вида: 


2
2
2
1
2
3
4
1 2
2
4
8
...
.
w
w
w
w
E
E
E
E
E
n n






(4) 
Расширим 
алгоритм 
последовательных 
приближений, 
разработанный 
для 
одномерного случая на основе формул (2) и (3), на массив двумерных вейвлет-
коэффициентов. Обозначим величину спектральной энергии, полученную на текущей 
итерации c номером s , как E
ε,s
, а на последующей итерации с номером s+1 – как E
ε,s+1
. 
Последовательность этих величин будет асимптотически приближаться к полной энергии 
сигнала E при s→∞ [4]. Получается сходящийся процесс, который может 
контролироваться неравенством вида, но уже для энергии как функции двух переменных: 
,
1
,
,
1, 2, ...
s
s
E
E
s







n→∞.
(5) 

---

229 
ЛИТЕРАТУРА 
1. С.Ф.Свинын. Базисные сигналы в теории отчётов. СБп наука, 2003,-118с
2. Зайнидинов Х.Н., Колесников Е.А. Свиньин С.Ф. Алгоритмы и программы 
восстановления 
экспериментальных 
данных 
параболическими 
базисными 
сплайнами. Тезисы докл.всесоюзной конференции (НТК) Перспективы развития и 
приме-нения средств ВТ для моделирования и автоматизированного исследования. 
1991 г. Москва, стр.144-145. 
3. Зайнидинов Х.Н., Параллельно-конвейерная вычислительная структура на основе 
бикубических сплайнов. Вестник ТГТУ, Ташкент. -2004, № 2., -С.32-35.
4. Zaynidinov H.N., Kim Sung Soo, Avaz Mirzaev. Piecewise-Polynomial Bases For Digital 
Signal Processing. International Journal of Ubiquitous Computing and Internationalization, 
South Korea, Vol. 3., № 1, April 2011, P. 59-65. 
5. Zaynidinov H.N Akbarali Rasulov Developing Parallel Application on a Cluster of 
Personal computers Journal of Convergence Information Technology ( JCIT ) , Vol. 9, No. 
5, pp. 1 ~ 5, 2014, South Korea 
 
ПРИМЕНЕНИЕ Z-ЧИСЕЛ В СИСТЕМАХ НЕЧЁТКОГО ВЫВОДА 
 
Мухамедиева Д.Т. (Центр РПП и АПК при ТУИТ, ведущий научный сотрудник) 
В 2011 году профессор Университета Калифорнии (Беркли) Лотфи А. Заде, 
основатель теории нечётких множеств, нечёткой логики и вычислений со словами 
(Computing with Words) предложил концепцию Z-числа для описания неточности 
(приближенности) информации, используемой в повседневной жизни. Такая информация 
не является абсолютно точной; в подавляющем большинстве случаев люди связывают 
разные степени уверенности при выражении мнений, описании ситуаций и пр., в 
зависимости от своего опыта, интуиции и осведомленности.
Стоит отметить, что понятие Z-числа - не знаменует собой первую попытку 
описать реальную неопределенность информации, которая является слишком сложной, а 
подчас и недоступной для описания в достаточно простых оценочных терминах. В 
частности, уже давно для подобного описания используются интервальные оценки или 
нечеткие числа. В последнем из перечисленных случаях неопределенность описывается 
числовой функцией принадлежности. Если речь идет о функциях первого типа (Type-1 
Membership Functions), то это означает, что просто не принимается во внимание 
характерная неопределенность используемых оценок. По существу, первой попыткой
учета таких интервалов неопределенности была предложенная уже достаточно давно 
теория нечетких множеств второго типа (Type-2 Membership Functions) [1, 2]. В отличие 
от нечеткого множества 2-го типа, Z-число явно представляет надежность, описанную на 
NL, и является более структурированным, формальным и полным описанием 
неопределенности информации (такая “полнота”, отчасти, связана и со сложностью 
обработки Z-чисел). Для работы с Z-информацией требуется разработать новую теорию, 
новые подходы и методики вычисленийс Z-числами Предложенное проф. Л.А. Заде 
описание неточной и частично истинной информации с помощью Z-чисел можно 
рассматривать как удачную попытку преодоления очевидной сложности описания 
многоликой неопределенности (напр., надежность, степень истины, или вероятность) 
оперируемой в разных приложениях информации. Согласно исходной концепции, Z-число
описывает значение некоторой неопределённой переменной X и представляет собой 
упорядоченную пару Z = (A, B) из двух нечетких чисел. Первое число -А выражает собой 
ограничение на значения переменной X (это ограничение представить в короткой форме “ 
X есть A”), а второе число, В - нечеткое (приблизительное) ограничение на степень 
уверенности в первом числе А, т.е. оценка надежности А. В большинстве случаев, 
нечеткие числа А и В описываются фразами естественного языка, например, Z = 

---

230 
(приблизительно 70, абсолютно уверен), и формально представляются функциями 
принадлежностиL-R типа. 
RonaldR.Yager в [1] показал, как использовать Z-числа для предоставления 
информации о неопределенности переменной в виде Z-оценок, полагая, что эта 
неопределенная переменная является случайной.
В работе [2] был предложен метод преобразования Z-числа в классическое 
нечеткое число в соответствии с нечетким ожиданием нечеткого множества, рассмотрен 
пример с Z-оценками и показано, как принимать решения. В [1] используется 
альтернативная формулировка информации, содержащейся в Z-оценках, с точки зрения 
системы ценностей Демпстера-Шафера, который использовали нечеткие множества 
второго типа [3]. 
В статье [2] предлагается упрощенная версия Z-оценки информации при принятии 
решений. В работе [4] рассмотрено использование Z-чисел в контексте проблемы 
принятия решений (выбора альтернативы) на основе множества критериев. С целью 
принятия решения, Z-числа преобразуются в классические нечеткие числа и вычисляется 
приоритетный вес каждого альтернативного варианта.
В работе [7] сформулирован подход к принятию решений, основанных на Z-
информации. Этот подход основан на приведении Z-числа к классическому нечеткому 
числу, обобщении подхода ожидаемой полезности и использования интеграла Шоке
представленным как Z-число. Также, некоторые опубликованные работы предлагали 
примеры использования подходов, описания которых содержатся в вышеописанных 
публикациях, в относящихся к задачам разных областей деятельности [5, 6].
Определение 1. Z-оценка (англ. Z-valuation). Z-оценкой называют упорядоченную 
тройку, которая трактуется как оператор (утверждение) X is (A, B) (“ X есть ( A , B ). X 
является неопределенной переменной, если A не состоит только из одной точки.
В действительности, Z-оценку можно рассматривать как ограничение на X , 
которое определяется – выражением:
Prob(X is A) is B. 
Пусть задана выборка нечетких экспериментальных данных 
)
,
(
r
r
y
X
, 
M
r
,
1

; 
здесь
)
,...,
,
(
2
1
rn
r
r
r
x
x
x
X 
- 
входной 
n -мерный 
вектор 
и 


M
r
y
y
y
y
,...,
,
2
1

- 
соответствующий ему выходной вектор.
В общем виде требуется построить модель, основанную на нечетких правилах 
вывода с использованием Z-оценивания неопределенности: 
)
,...,
,
(
,
(
2
1
1
,
,
1
n
j
k
p
jp
i
jp
i
i
n
i
x
x
x
f
y
B
A
x
k











 
.
Благодаря такому подходу к использованию Z-чисел в системе нечёткого вывода 
появляется возможность более эффективно учитывать неопределенность при работе с 
приближенной, неточной информацией. С уверенностью можно сказать, что такой 
разработанный алгоритм может с большим успехом найти широкое применение в
решениях как инженерных, так и экономических задач различного рода. 
В качестве направления для дальнейшей работы можно выделить разработку 
алгоритма использования арифметики дискретных Z-чисел в системах нечёткого вывода с 
целью полноценного внедрения Z-информации в механизмы вывода, что принесёт 
наименьшие потери информации, содержащейся в Z-числах. 
Результатом данной работы является разработанный подход к использованию Z-
чисел в системе нечёткого вывода путём преобразования Z-чисел в классические нечёткие 
числа.