|
ДВУМЕРНЫЕ ВЕЙВЛЕТ-БАЗИСЫ С КОМПАКТНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ В
ЗАДАЧЕ ВЫБОРОК СИГНАЛОВ – ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Мирзаев А.Э. (ТУИТ Ст преподователь)
Халилов С.П. (ТУИТ Ассистент)
Процессы построения вейвлет-функций могут быть обобщены на функции
размерностей n≥2. Рассмотрим двумерный случай. Предположим, что сигнал представляет
собой функцию f(x,y)
L
2
(R
2
). Кратномасштабная аппроксимация представляет собой в
этом случае последовательность подпространств
,
...
2
2
2
1
L
V
V
s
s
удовлетворяющих
аксиомам отделимости и полноты. Шаг растяжения выберем равным 2, а порядок
включения подпространств, следуя [1], возьмем противоположным порядку, принятому
выше в параграфе 2.?. Известно, что существует единственная масштабирующая функция
φ(x,y) растяжения, сдвиги которой дают ортонормированный базис подпространств.
Пусть φ
2s
(x,y)=2
2s
φ(2
s
x,2
s
y). Семейство функций (2
-s
φ
2s
(x-2
-s
n
1
,y-2
-s
n
2
)) образует
ортонормированный базис пространства V
2
s
. Множитель 2
-s
нормирует каждую функцию
в пространстве L
2
(R
2
).
В [1] доказывается, что масштабирующая функция φ(x,y) может быть записана в
227
виде φ(x,y) = φ(x)φ(y), где φ(x) и φ(y) – одномерные масштабирующие функции
кратномасштабной аппроксимации (V
1
2
s
) пространства L
2
(R). Ортогональный базис V
2
s
при этом записывается в виде
1
2
2
1
2
2
2
2
2
,
2
2
2
2
.
s
s
s
s
s
s
s
s
s
x
n y
n
x
n
y
n
(1)
Так же, как и в одномерном случае, разность между аппроксимацией функции f(x,y)
при разрешениях 2
s+1
и 2
s
называется детализированной аппроксимацией при разрешении,
равном 2
s
.
При решении задачи сжатия двумерных сигналов вейвлет-разложение обычно
интерпретируется как разложение на множество независимых, пространственно
ориентированных частотных каналов. Двумерное преобразование можно рассматривать
как последовательность одномерных вейвлетных преобразований по осям x и y. Всего
выполняется 1≥s≥p шагов.
Сепарабельные ортонормированные вейвлет-базисы L
2
(R
2
) строятся с помощью
произведений масштабирующей функции φ и вейвлета ψ. Функция φ связана с
одномерной кратномасштабной аппроксимацией. Если известен процесс двумерного
кратного масштабирования {V
2
s
}, определенный как тензорное произведение
s
s
V
V
и W
2
s
является
пространством
детализаций,
равным
ортогональному
дополнению
аппроксимационного пространства более низкого разрешения V
2
s
в V
2
s-1
, то может быть
построен ортонормированный базис [2].
При вычислении и анализе двумерных вейвлет-коэффициентов используются
несколько разновидностей алгоритмов так называемого октавного разбиения спектра
сигнала на частотные диапазоны, т.е. с выделением квадратов (ω
1x
*ω
1y
), (2ω
1x
*2ω
1y
),
(4ω
1x
4ω
1y
) и т.д. Среди них для вычисления суммарной спектральной энергии наиболее
простым является алгоритм накопления сумм квадратов коэффициентов при увеличении
числа октав и добавления новых квадратичных сумм к уже полученным при обработке
данных от низкочастотных октав [5].
В качестве примера приведем матрицу, состоящую из квадратов двумерных вейвлет-
коэффициентов на 4 октавы, т.е. размерности 16х16 (Табл. 1) Подматрица первой октавы
включает в себя только 4 элемента левой верхней квадратной подматрицы размером 2х2
(элементы с
2
00
, с
2
01
, с
2
10
и с
2
11
). Во вторую октаву входят все остальные элементы верхней
левой квадратной подматрицы размером 4х4. Она также отделена пунктирной линией от
правой и нижней частей полной матрицы. Третью октаву образуют оставшиеся элементы
верхней квадратной подматрицы размером 8х8 и т.д., поскольку процесс добавления
размерностей матриц коэффициентов 2
s
x2
s
можно продолжать наращивать при
увеличении размерностей.
Таблица 1.
Матрица, состоящая из квадратов двумерных вейвлет-коэффициентов на 4 октавы,
т.е. размерности 16х16
228
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
2
2
2,0
2,1
2,
|
|
|
|
|
|
Do'stlaringiz bilan baham: |
