Zahiriddin muhammad bobur nomli

3. ANIQ INTEGRALNING MEXANIKA VAQ FIZIKAGA TATBIQLARI

Agar da f(x) [a;b] oraliqda uzluksiz bo`lib, uning boshlang`ich funksiyasi elementar funksiya orqali ifodalansa, ya`ni aniqmas integral olinadigan bo`lsa, bu aniq integralni hisoblash Nyuton-Leybnis formulasi orqali amalga oshirilishi ma`lum. Ko`pincha, f(x) ning aniqmas integrali olimaydigan bo`lib, bunday holda Nyuton-Leybnis formulasidan foydalanish imkoni bo`lmay qoladi. Bunday hollarda aniq integralni, hech bo`lmasa, taqribiy hisoblashga to`g`ri keladi. Undan tashqari, Nyuton-Leybnis formulasidan foydalanish imkoni bo`lgan ba`zi bir hollarda boshlang`ich funksiyani hisoblash o`ta murakkab bo`lishi mumkin, bunday holda ham aniq integralni taqribiy hisoblash maqsadga muvofiq bo`ladi.

Shu sababli aniq integralni taqribiy hisoblash formulalari ishlab chiqilgandir. Biz quyida ulardan ba`zi birlarini (aniqrog`i eng soddalarini) keltiramiz.
To`g`ri to`rtburchaklar formulalari. Bu formulalar aniq integralning ta`rifidan bevosita kelib chiqadi, ya`ni aniq integral integral yig`indining limiti ekanligidan
(1)
taqribiy tenglikni yozaolamiz, bu yerda _i[x_i-1;x_i], a=x₀₁₂<..._n-1n=b bo`linish nuqtalari x<sub>i</sub>=x<sub>i</sub>-x<sub>i-1</sub>. Geometrik ma`nosi jihatidan bu taqribiy formula o`ng tomonidagi yig`indining har bir qo`shiluvchisi egri chiziqli trapetsiya i-bo`lagini unga mos to`g`ri turtburchak bilan almashtirish bilan hosil qilingandir (28a,b-rasmga qarang). Shu sababli (1) ni to`g`ri to`rtburchaklar formulasi deb yuritiladi.
Agar <sub>i</sub>=x<sub>i-1</sub> deb olsak, f(<sub>i</sub>) mos to`g`ri to`rtburchakning balandligi [x_i-1;x_i] kesma chap uchidagi funksiya qiymatidan iborat bo`ladi va shu sababli
(2)
ni chap to`g`ri to`rtburchaklar formulasi deb yuritiladi.
Xuddi shunga o`xshash o`ng to`g`ri to`rtburchaklar formulasi ham (1) dan <sub>i</sub>=x<sub>i</sub> deb olish bilan hosil qilinadi:
(3)
Amaliy hisoblarda integrallash oralig`ini teng bo`laklarga bo`lish birmuncha qulayliklar tug`diradi. Bunday holda bo`lishi tabiiydir. Buni hisobga olib, (11.2) va (3) formulalarni quyidagi ko`rinishlarda yozish mumkin bo`ladi:
(4)
bu chap to`g`ri to`rtburchaklar formulasi (28a rasm),
(5)
esa o`ng to`g`ri to`rtburchaklar formulasi (28b-rasm) , bo`lib, bu yerda y_i=f(x­_i) (i=0;1;2;…;n) dir.