Zahiriddin muhammad bobur nomli

Trapetsiyalar formulasi. Agar (4) va (5) taqribiy formulalarni qo`shib, so`ngra 2 ga bo`lsak, quyidagini olamiz:
(5)
Buni trapetsiyalar formulasi deb yurit



8-chizma.

(5) formulani geometrik jixatdan i- oraliqdagi egri chizikli trapetsiyani, asoslari chetki ordinatalardan va balandligi x_i=h dan iborat bo`lgan to`g`ri burchakli trapetsiya bilan almashtirish natijasida hosil qilish mumkinligiga o`quvchining o`zi ishonch hosil qiladi deb o`ylaymiz.

Simpson (parabolalar) formulasi. Bu yerda integrallash oralig`i [a;b] ni juft sondagi teng bo`laklarga bo`lingan holni qaraymiz, ya`ni n=2m, mN . Funksiya grafigini (x_2i-2;y_2i-2) , ( x­_2i-1; y_­2i-1) va (x_2i; y_2i) (i=1;2;…;m) nuqtalar orqali o`tuvchi parabola bo`lagi bilan almashtiramiz (29- rasm).
Endi ,
deb belgilab, [x_2i-2;x_2i] oraliqdagi yuqorida aytilgan parabola bo`lagining tenglamasini

ko`rinishda izlab, x ga ketma-ket x_2i-2, x_2i-1 va x_2i qiymatlarni berib:

sistemani olamiz. Undan

larni topamiz.
U holda

Nihoyat, bu ishni barcha oraliqlar uchun bajarib,



ya`ni
(6)
ga ega bo`lamiz. (6) simpson (parabolalar) formulasi deb yuritiladi.
Misol. integralning qiymati n=10 bo`lganda taqribiy hisoblansin.
Yechish:
Qulaylik uchun quyidagi jadvalni tuzib olamiz.

i	xi		y0;y10	y1;y3;..;y9	y2;y4;…;y8
0	0	1	1,000
1	0,1	1.01		0.9901
2	0,2	1,04			0,9615
3	0,3	1,09		0,9174
4	0,4	1,16			0,8621
5	0,5	1,25		0,8000
6	0,6	1,2			0,713
7	0,7	1,49		0,6711
8	0,8	1,64			0,6098
9	0,9	1,81		0,5525
10	1,0	2,0	0,5000
			1,5000=0	3,9311=1	3,1687=2

Endi yuqorida olingan har bir taqribiy formulalar yordamida integralning taqribiy qiymatlarini hisoblaylik.

1. 
   Chap to`g`ri to`rtburchaklar formulasi:
   

2. 
   O`ng to`g`ri to`rtburchaklar formulasi:
   

3. 
   Trapetsiyalar formulasi:
   

4. 
   Simpson formulasi:
   

Olingan natijalarni integralning aniq qiymati bilan taqqoslaylik:

Agar 3,166 (0,0001 aniqlikda) deb olsak,

ga ega bo`lamiz.
Yuqorida olingan natijalardan ko`rinadiki, to`g`ri to`rtburchaklar formulasiga qaraganda trapetsiyalar formulasi aniqroq, Simpson formulasi esa yana ham aniqroq natija berar ekan. Bu tasodifiy hol bo`lmay quyidagi teorema o`rinlidir.


Xulosa
Aniq integral tushunchasi egri chiziqli trapetsiya orqali olinadi. Egri chiziqli trapetsiya y = f(x), y = 0, x=a, x=b chiziqlar bilan chegaralangan figuraga aytiladi. Aniq integral Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblanadi. = F (x)|ba= F(b) – F(a) Aniq va noaniq integrallarning umumiy yozuvi ular orasidagi yaqin munosabatni ta’kidlaydi: aniq integral son, noaniq integral esa antiderivativ funksiyalar to‘plamidir. Aniq va noaniq integral o'rtasidagi munosabat Nyuton-Leybnits formulasi bilan ifodalanadi. Aniq integralning xossalari: Agar integrallashning yuqori va quyi chegaralari almashtirilsa, u holda aniq integral o’zining absolyut qiymatini saqlab qoladi, lekin ishorasini aksincha o’zgartiradi. Integrallashning yuqori va quyi chegaralari teng bo’lsa, aniq integral nolga teng bo’ladi. Agar integrasiya segmenti bir necha qismlarga bo‘linsa, segmentdagi aniq integral shu segmentlarning aniq integrallari yig‘indisiga teng bo‘ladi. Intervalda berilgan funksiyalar yig‘indisining aniq integrali funksiyalar hadlarining aniq integrallari yig‘indisiga teng. Integralning doimiy omilini aniq integral belgisidan chiqarish mumkin. Aniq integralni baholash: agar m ≤ f(x) ≤ M bo‘lsa, m (b – a) bo‘ladi. y=f(x) funksiya segmentda uzluksiz va f(x) ≥ 0 bo‘lsin. AB funksiyaning y=f(x) grafigi, x=a, x=b chiziqlari bilan chegaralangan raqam. Ox o'qi (rasmga qarang) egri chiziqli trapezoid deb ataladi. Integral yig'indi va uning shartlari oddiy geometrik ma'no: Mahsulot asosi va balandligi bo'lgan to'rtburchaklar maydoniga teng, yig'indisi esa rasmda ko'rsatilgan soyali qadamli raqamning maydonidir. Shubhasiz, bu maydon segmentning qisman segmentlarga bo'linishi va bo'linish nuqtalari sonini tanlashga bog'liq. ∆ x qanchalik kichik bo'lsa, qadamli figuraning maydoni egri chiziqli trapezoid maydoniga yaqinroq bo'ladi. Shuning uchun integral yig'indining chegarasi egri chiziqli trapetsiyaning aniq maydoni S sifatida qabul qilinadi. Shunday qilib, bilan geometrik nuqta nuqtai nazaridan, manfiy bo'lmagan funktsiyaning aniq integrali tegishli egri chiziqli trapezoidning maydoniga son jihatdan teng.