Yuqori darajali tenglamalarni yechish

sonlar sistemasiga

ishoralar sistemalari mos keladi, boshqacha qilib aytganda Shturm sistemasida bitta ishora o'zgarishi yo'qoladi. Agar ning oraliqdagi ishorasi manfiy bo'lsa, yana 4) ga ko'ra dan o'tganda ko'phad o'z ishorasini musbatdan manfiyga o'zgartiradi, ya'ni (3.1.6) sonlar sistemasiga endi

ishoralar sistemalari mos keladi, ya'ni Shturm sistemasida yana bitta ishora o'zgarishi yo'qoladi. Demak, son o'sa borib ko'phad ildizlaridan o'tgandagina o'zgaradi, shu bilan birga bu holda u roppa-rosa bittaga kamayadi.
Teorema isbotlandi.
Tasdiq. Karrali ildizga ega bo'lmagan, haqiqiy koeffisientli har qanday ko'phad Shturm sistemasiga ega bo'ladi.
Isboti.Quyidagi usul bilan Shturm sistemasini tuzaylik
deb olaylik. Shturm sistemasi ta'rifidagi 4) shartni bajarilishini ko'rsataylik. Agar son ko'phadning ildizi bo'lsa, u holda bo'ladi va demak bo'lsa, u holda nuqta atrofida va shu sababli ni qiymati dan o'tganda ishorasini manfiydan musbatga o'zgartiradi va demak ko'paytma ham o'z ishorasini manfiydan musbatga o'zgartiradi. Agar bo'lsa, u holda nuqta atrofida bo'ladi va ni qiymati dan o'tganida ishorasini musbatdan manfiyga o'zgartiradi va demak ham o'z ishorasini manfiydan musbatga o'zgartiradi.
So'ngra ni ga bo'lamiz va bu bo'lishdan chiqqan qoldiqni teskari ishora bilan olib, deb olamiz:
=

deb esa quyidagi ko'phadni olamiz:
,
.


va hakazo. va lar topilgan bo'lsin, u holda quyidagicha topamiz:

(3.1.5)
Bu protsess va ko'phadlarning eng katta umumiy bo'luvchisi bo'lgan birorta da to'xtaydi. Olishimizga ko'ra va ko'phadlar o'zaro tub bo'lgani uchun birorta nolinchi darajali ko'phad bo'ladi.
Biz tuzgan

ko'phadlar sistemasi Shturm sistemasining ta'rifidagi 2) shartni bajarishini, ya'ni haqiqiy ildizga ega emasligini va 1) shartni bajarilishini ko'rsataylik: faraz qilaylik va umumiy ildizga ega bo'lsin. U holda (3.1.5) ga asosan, uchun ham ildiz bo'ladi va hakazo lar uchun ham ildiz bo'lishi kelib chiqadi. Bu esa va ni o'zaro tub ekanligiga ya'ni ni karrali ildizga ega emasligiga ziddir.
3) shartni bajarilishi (3.1.5) dan kelib chiqadi. Agar bo'lsa, u holda