Yuqori darajali tenglamalarni yechish

I. (Zarurligi­). Agar boshlang’ich ildizni bildirsa, bo’ladi. Bu holda, (1.2.10) tenglikdan kelib chiqadi va, demak, k va n o’zaro tub sonlarni ifodalaydi.
II. (Yetarliligi). k va n o’zaro tub, ya’ni bo’lsa, (1.2.10) tenglikdan ni hosil qilamiz. Demak, boshlang’ich ildiz bo’ladi.
k ning qiymatlari n dan kichik ekanini e’tiborga olib, quyidagi xulosaga kelamiz:
n dan kichik va n bilan o’zaro tub nechta butun musbat son mavjud bo’lsa, (1.2.3) tenglamaning shuncha boshlang’ich ildizi bor. Bu boshlang’ich ildizlarning soni odatda, bilan belgilanadi. Sonlar nazariyasida ifoda Eyler funksiyasi deyiladi va n ning kanonik yoyilmasi bo’lsa,
(1.2.11)
formula isbot qilinadi.
Misol. tenglamaning boshlang’ich ildizlarini topaylik. Avval boshlang’ich ildizlarning sonini aniqlaymiz: bo’lgani uchun, (1.2.11) ga asosan, 12 dan kichik va 12 bilan o’zaro tub sonlar 1, 5, 7, 11 dir. Shu sabali boshlang’ich ildizlar quyidagilardan iborat:





YUQORI DARAJALI ALGEBRAIK TENGLAMALAR
2.1-§. Uchinchi darajali tenglamalar
Umuman, kompleks sonlar maydonidagi uchinchi darajali tenglamaning ikkala tomonini bosh koeffitsiyentga bo’lib, uni:
(2.1.1)
ko’rinishga keltirish mumkin.
Bu tenglama quyidagi metod bilan yechiladi.
(2.1.1) tenglamani yangi noma’lum y ga nisbatan ikkinchi darajali had ishtirok etmagan uchinchi darajali tenglamaga quyidagicha keltirish mumkin: ni (2.1.1) tenglamada almashtirishni bajargandan keyin yuqoridagi shartni qanoatlantiruvchi uchinchi darajali tenglama hosil bo’ladigan qilib tanlaymiz.
(2.1.1) da x o’rniga ni qo’yib ning koeffitsiyentini nolga tenglashdan tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamadan topiladi.
Aytilganlarga asosan (2.1.1) tenglamada
(2.1.2)
almashtirish bajarsak,
(2.1.3)
hosil bo’ladi, bunda:
(2.1.4)
(2.1.3)- uchinchi darajali tenglamaning normal shakli deb ataladi.
(2.1.3) normal tenglamani yechish uchun
(2.1.5)
deymiz, bunda u va v – yangi noma’lumlar. Bu ifodani (2.1.3) tenglamaga qo’ysak, quyidagi kelib chiqadi:

bundan:
(2.1.6)
Endi, u va v noma’lumlarni shunday aniqlaylikki,
yoki (2.1.7)
bajarilsin. Bu vaqtda (2.1.6) va (2.1.7) dan:

hosil bo’ladi. Ko’ramizki, va ushbu:

kvadrat tenglamaning ildizlaridan iborat. Bu tenglamani yechib, quyidagini topamiz:

yoki
va ,
bundan, (2.1.5) ga ko’ra:
. (2.1.8)
(2.1.8) tenglik odatda, Kardano formulasi deb ataladi. Bu tenglik- ikkita ildizning yig’indisidan iborat bo’lib, har bil ildiz uchta qiymatga ega; u ning har bir qiymatini v ning har bir qiymati bilan olsak, uchun hammasi bo’lib to’qqizta qiymatni hosil qilamiz. Ammo (2.1.3) tenglama faqat uchta ildizga ega; shu sabali, yuqoridagi to’qqizta qiymatdan uchtasini, ya’ni yig’indining (2.1.7) shartni qanoatlantiruvchi qiymatlarini olishimiz kerak. Shu maqsadda avval:

ildizning uchta qiymatini topamiz. Buning uchun, ma’lumki, u ning bitta, masalan, ildizini 1 ning uchinchi darajali



ildizlariga ko’paytirishimiz lozim. Natijada u ning uchinchi darajali ildizlari bo’ladi.
Endi v ning tegishli qiymatlarini (2.1.7) shartdan topamiz:
;

bunda dan foydalandik. Shunday qilib, u ning har bir qiymatini v ning mos qiymatiga qo’shsak, y uchun quyidagi uchta qiymat kelib chiqadi:

Agar bu tengliklarga va ning qiymatlarini qo’ysak, (2.1.3) normal tenglamaning ildizlari quyidagilarga teng bo’ladi:

(2.1.9)

Endi, (2.12) tenglikdan foydalanib, (2.1.1) tenglamaning ildizlarini topamiz:

(2.1.10)