Yuqori darajali tenglamalarni yechish

1.2-§. Ikki hadli tenglamalar
Algebraik tenglamalarning eng soddasi hisoblangan ikki hadli tenglamalarni yechish usuli bilan tanishamiz.
Ushbu:
(1.2.1)
ko’rinishdagi algebraik tenglama ikki hadli tenglama deb ataladi, bunda - noldan farqli istalgan son. Ravshanki, bu tenglama ning -darajali istalgan ildizi qanoatlantiradi, chunki

Ikki hadli tenglama -darajali bo’lgani uchun, ta ildizga ega. Bundan ma’lumki, (1.2.1) tenglamaning hamma ildizlari huddi ning ta -darajali ildizlaridan iborat. Endi, ning -darajali ildizlari har xil bo’lgani uchun, bu tenglamaning ham ildizlari har xil, ya’ni ikki hadli tenglama karrali ildizlarga ega emas.
ning trigonometrik shaklga keltirib, (1.2.1) tenglamaning ildizlarini bizga ma’lum bo’lgach quyidagi formula bilan topamiz:

(1.2.2)
(1.2.1) tenglama bilan bir qatorda:
(1.2.3)
tenglamani ham tekshiramiz. (1.2.1) tenglamaning ildizlaridan istalganini, masalan, ni olib,
(1.2.4)
deymiz va bu qiymatni (1.2.1) ga qo’yamiz:

Bundan, ga qisqartib, huddi (1.2.3) tenglama hosil qilamiz.
(1.2.3) tenglamaning ildizlari quyidagi formula bilan topiladi:
. (1.2.5)

Agar bu qiymatlarni (1.2.4) ga ( o’rniga) qo’ysak, ning qiymatlarini hosil qilamiz.
Haqiqatdan, (1.2.3) tenglamaning istalgan ildizini olib, ni (1.2.1) ga qo’ysak, ayniyat hosil qilamiz.

Demak, (1.2.1) tenglamaning hamma ildizlarini topish uchun- uning bitta ildizini (1.2.4) tenglamaning hamma ildizlariga ko’paytirib chiqish kerak. Boshqacha aytganda, ning -darajali ildizlarini hosil qilish uchun uning bitta ildizini 1 ning -darajali hamma ildizlariga ko’paytirib chiqish lozim.
Masalan, ning uchinchi darajali ildizlaridan bittasi ga teng; ning hamma uchinchi darajali ildizlarini topish uchun,

tenglamani olamiz; (1.2.5) formulaga muvofiq:


.
Demak, tenglamaning hamma ildizlari quyidagilardan iborat:
,
.
(1.2.3) ikki hadli tenglamaning ildizlari bir nechta xossaga ega:
1°. (1.2.3) tenglamaning istalgan ikki ildizini bir-biriga ko’paytirsak, yana shu tenglamaning ildizi hosil bo’ladi.
Chindan ham va ni (1.2.3) tenglamaning ildizlari desak, va ga asosan bo’ladi.
2°. (1.2.3) tenglamaning istalgan ikki ildizini bir-biriga bo’lsak, yana shu tenglamaning ildizi hosil bo’ladi.
Xaqiqatan:

3°. (1.2.3) tenglamaning istalgan ikki ildizini har qanday butun (musbat, nol va manfiy) darajaga ko’tarsak, yana shu tenglamaning ildizi hosil bo’ladi.
Chindan ham, ni har qanday butun son deb hisoblab, ushbuni topamiz:

4°. Darajalarning ushbu:

cheksiz ketma-ketligi (bunda ekanligi ma’lum) (1.2.3) tenglamaning ildizlaridan iborat(3°-xossaga binoan). Lekin (1.2.3) tenglama faqat ta ildizga ega bo’lgani uchun, bu qatorda albatta bir-biriga teng darajalar bor. Masalan,

bo’lsin. Bundan:
Demak, shunday musbat butun sonlar mavjudki, ular uchun tenglik o’rinli. Bu shartni qanoatlantiruvchi butun musbat sonlar cheksiz ko’p, chunki istalgan butun musbat sonni ifodalasa, tenglik ham bajariladi. Lekin bunday butun musbat sonlar orasida albatta eng kichigi bor.