Yuqori darajali tenglamalarni yechish

Misol. tenglamani yechaylik. Bunda , ,
bo’lgani uchun, (2.1.4) tengliklarga asosan, va
.
Endi

Agar desak, hosil bo’ladi.
Demak, (2.1.10) ga binoan, berilgan tenglamaning ildizlari quyidagilardan iborat:





2.2-§. To’rtinchi darajali tenglamalar
Kompleks sonlar maydonidagi to’rtinchi darajali tenglamaning ikkala tomonini bosh koeffitsiyentga bo'lib, uni:
(2.2.1)
To’rtinchi darajali tenglamani yechishning ko’pgina usullari bor. Biz ularning ba’zilarini ko’rib o’tamiz.
1°. Ferrari usuli. (2.2.1) tenglamaning keyingi uchta hadini o’ng tomonga o’tkazib, ikkala tomonga ni qo’shamiz. Natijada:

hosil bo’ladi. Endi, so’nngi tenglamaning ikkala tomoniga yig’indini qo’shib (bunda y- yagona noma’lum), ushbuga ega bo’lamiz:
(2.2.2)
Yangi y noma’limni (2.2.2) tenglamaning o’ng tomoni to’liq kvadartdan iborat bo’lib qoladigan qilib tanlaymiz. Buning uchun:
(2.2.3)
deb olishimiz kerak. Ushbu:

ayniyatga asosan, quyidagi natijaga kelamiz:
(2.2.4)
Qavslarni ochib, y ning darajalariga nisbatan o’xshash hadlarni yig’sak,
(2.2.5)
shakldagi uchinchi darajali tenglamaga kelamiz. Ko’ramizki, u noma’lumning qiymatlari –shu (2.2.1) tenglamaning ildizlaridan iborat. Bu tenglama hal qiluvchi tenglama yoki (2.2.1) tenglamaning rezolventasi deyiladi.
Agar (2.2.5) tenglamaning bironta ildizini bilan belgilasak, bu qiymatda (2.2.4) tenglik bajarilib, (2.2.3) tengliklarga asosan, (2.2.2) tenglama quyidagi:

yoki

ko’rinishni oladi va, demak, berilgan to’rtinchi darajali tenglama ikkita:


kvadrat tenglamaning ko’paytmasiga yoyiladi. Bu tenglamalarni yechib, berilgan to’rtinchi darajali tenglamaning to’rtta ildizini topamiz.
Misol. tenglamani yechaylik, bunda Avval (2.2.5) tenglamani tuzamiz; a, b, c, d ning qiymatlarini (2.2.5) ga qo’yib, ushbuni topamiz:

Bu tenglamani yechamiz:

bundan demak,
(2.2.3) tengliklardan va ni aniqlaymiz: ; masalan, ni olsak, dan ni hosil qilamiz. Shunday qilib:


Bu tenglamalarni yechib, berilgan tenglamaning ildizlarini topamiz:

2°. Lobachevskiy usuli.
(2.2.6)
almashtirish yordami bilan (2.2.1) tenglamani:
(2.2.7)
shaklga keltiramiz. Buni to’rtinchi darajali tenglamaning normal shakli deyiladi.
Bu normal tenglamaning istalgan ildizini bilan belgilab, ushbu:
(2.2.8)
yordamchi tenglamani tuzamiz; bunda shuni aytish kerakki, ning qiymati bizga kerak bo’lmaydi, ning qiymati esa keyinroq aniqlanadi. Agar (2.2.8) tenglamada ni bulan almashtirsak,
(2.2.9)
tenglama hosil bo’ladi. So’nggi (2.2.8) va (2.2.9) tenglamalarni o’zaro ko’paytirib,
(2.2.10)
tenglamani hosil qilamiz, bunda
va
Bu tengliklarning birinchi va uchinchisidan ni aniqlab, ikkinchisiga qo’ysak,

Tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamaning huddi yuqoridagi (2.2.7) tenglamadan iborat bo’lishini talab qilib,

Deymiz, bundan:
(2.2.11)
hosil bo’ladi; va tengliklarga asosan, deb hisoblashimiz mumkin.
(2.2.11) tengliklardan foydalanib, (2.2.10) tenglamani :
(2.2.12)
shaklga keltiramiz. Bu – hal qiluvchi tenglama yoki (2.2.7) tenglamaning rezolventasidir.
Agar bilan (2.2.12) tenglamaning ildizlarini belgilasak, ga asosan,
sonlar (2.2.8) yordamchi tenglamaning ildizlarini ifodalaydi. Shu sababli:

shartlar bajariladi.
Ko’ramizki, qiymatlar shartni qanoatlantiradigan bo’lsa,



qiymatlar ham bu shartni qanoatlantiradi. Demak, (2.2.7) tenglamaning ildizlari quyidagilardan iborat bo’ladi:




Bu qiymatlarni (2.2.6) ga qo’yib, (2.2.1) tenglamaning ildizlarini topamiz.