Yulduzlarning muntazam politoplari geometrisi

Ta'rif . Polihedron muntazam ,

agar uning barcha yuzlari bir-biriga teng bo'lsa, muntazam ko'p

gons va uning qo'shni yuzlari orasidagi barcha dihedral burchaklar

ular tengdirlar.

1.2. Ko'p qirrali yuzaning egriligi. Agar yuqori bo'lsa

Va ko'p qirrali yuza F bu chegaraga tegishli emas

yuzasi, keyin F yuzining burchaklari ver-

plastik A , ko'p qirrali V ( A ) burchak hosil qiladi .

V ( A ) ko'p qirrali burchakning tekis burchaklari qiymatlari yig'indisi

a ( A ) ni va V ( A ) burchakning egriligini va ver- ning egriligini belgilang

ko'p qirrali yuzaning A shinalari - bu son

B ( A ) = 2π - a ( A ).

Egrilik Ѡ ( F a polyhedral yuzasining) F deb ataladi

uning barcha tepaliklari egriliklari yig'indisi.

Ko'p qirrali sirt uchun F :

f - yuzlari soni, e - tepaliklar soni, k - uning soni

qovurg'alar

U holda χ ( F ) = e - k + f soni Eyler xarakteristikasi deyiladi .

acteristic polyhedral yuzasi F .

Teorema. Yopiq ko'p qirrali yuzaning egriligi Ѡ ( F )

ning F 2πχ ( F ) ga teng , ya'ni quyidagi tenglik mavjud:

Ѡ ( F ) = 2πχ ( F )

(*)

Dalillar. F yuzlari uchburchak deb taxmin qilishimiz mumkin

laqablari T i

, chunki oddiy yuzlarni uchburchakda raqam

e - k + f o'zgarmaydi.

T i yuzlarining barcha burchaklari yig'indisini hisoblaymiz

... Bir tomondan,

u π f ga teng (yuzlar f , uchburchakdagi burchaklar yig‘indisi π ga teng).

Boshqa tomondan, har qanday tepalik uchun A i

ish amalga oshiriladi

nikoh

Ѡ ( A i

) = 2π - a ( A i

),

(bitta)

degani,

a ( A i ) = 2π - Ѡ ( A i

).

(2)

Sahifa 12

12

Agar biz endi A i barcha tepaliklarni yig'sak

ga teng

xossasi (2), keyin chap tomonda biz uchburchaklarning barcha burchaklari yig'indisini olamiz T i

,

ya'ni f f , o'ngda 2π e - ( F ), ya'ni tenglik

π f = 2p e - Ѡ ( F ).

(3)

F ning yuzlari uchburchak va har bir qirrasi bo'lgani uchun

keyin ikkita uchburchakka tegishli

3 f = 2 k.

(to'rt)

Biz $ f-3 = f- 2- f $ ni ifodalaymiz va (4) ga binoan quyidagilarni olamiz:

π f = 2 dan π - 2π f gacha .

(besh)

(3) ning o'rniga (5) qo'ying:

2 dan π - 2π f = 2π e - Ѡ ( F ) gacha ,

Ѡ ( F ) = 2π e - 2 kπ + 2π f ,

Ѡ ( F ) = 2π ( e - k + f ),

Ѡ ( F ) = 2πχ ( F ).

Biz teoremani tasdiqladik.

Ushbu teoremadan kelib chiqadiki, yopiq to'plamning egriligi

yuzning yuzasi faqat Eyler xarakteriga bog'liq -

nasroniylar.

1.3. Sweep tushunchasi. Har bir ko'p qirrali sirt

ning F uning yuzlaridan tabiiy rivojlanishi .

Polyhedral sweep - bu ko'pburchak to'plamidir

yon tomonlarni qanday yopishtirish kerakligi ko'rsatilgan taxallus

bu ko'pburchaklar. Yelimlashda ham xuddi shunday

ko'p qirrali yuzani yopishtirishdagi kabi holatlar

yo'q:

1) Yelimlanadigan tomonlar teng bo'lishi kerak va

bir tomonning qaysi uchi ikkinchi tomonning qaysi uchi bilan ekanligini ko'rsating

yon tomonlari yopishtirilgan bo'lishi kerak.

2) Har qanday ko'pburchakning har bir tomoni yoki yopishtirilmagan

har ikki tomonga yopishtirilgan yoki faqat bittasiga yopishtirilgan

yon tomon.

13-bet

13

3) supurishning har bir ko'pburchagidan siz borishingiz mumkin

biridan ketma-ket o'tib, boshqa ko'pburchakka

yopishtirilgan tomonlari orqali boshqasiga ko'pburchak.

Ba'zilaridan ko'p qirrali sirtni yopishtirishda

ko'pburchak supurish mumkin

"Tanaffus". Shu bilan birga, ko'pburchak bo'lishi ham istisno qilinmaydi

skanerlash nikini o'ziga yopishtirilgan, masalan,

kub ochildi (11-rasm).

Anjir. 11. Kubni o'zaro faoliyat skanerlash

Tozalashning hech kimga yopishmaydigan tomonlari

boshqalar, supurishning chetini tashkil qiladi . Agar bunday partiyalar bo'lmasa, unda

supurishning chekkasi yo'qligini yoki bunday supurishni ayt

ka yopiq .

Har qanday ko'p qirrali ko'rinishni amalga oshirish mumkinligi isbotlangan

kosmosda ko'p qirrali sirt sifatida (qarang [5]).

Egrilik_va_Eyler_supurishga_xosdir.'>1.4. Egrilik va Eyler supurishga xosdir. Yuz-

ko'pburchaklarning qirralari va tepalari qayta

brahmi va supurish tepalari, bu holda identifikatsiyani hisobga olgan holda

navbati bilan bir chekka uchun kengaytirilgan tomonlar va tepaliklar

va supurishning bir qismi.

Reamers uchun, shuningdek ko'p qirrali yuzalar uchun kiring

Eyler xarakteristikasi va egrilik tushunchalari keltirilgan.

14-bet

o'n to'rt

Ba'zi rivojlantirish Agar P ega e burchaklar, k qirralarning va f

yuzlar, ya'ni rivojlanish ko'pburchagi, keyin e - k + f soni

Eyler supurish xarakteristikasi deb nomlangan va belgilangan

χ ( P ) dir.

A ba'zi bir rivojlanish P ning ichki tepasi bo'lsin , ya'ni

ushbu supurishning chetiga tegishli bo'lmagan tepalik.

Umumiy burchagi α ( A ) uch atrofida A summasi

supurgi poligonlar yuritadigan R Apex da biriga A .

Egrilik ω ( A ) ni uch bir supurgi R deb ataladi

2 vertikal va A tepa atrofida umumiy burchak a ( A ) , ya'ni.

b ( A ) = 2π - a ( A ).

Egrilik ω ( P ) ni rivojlantirish R eğrilikleri summasi

ushbu tozalashning barcha ichki uchlari.

Yopiq ko'p qirrali kabi, chekkasiz P supurish uchun

yuzalarga tenglashganda, quyidagi tenglik mavjud: p ( P ) = 2πχ ( P ) (*).

Tenglikning isboti (*) oldingi bilan bir xil

keyingi xat.

1.5. Metrni tozalash. Har bir ko'p qirrali tozalashda

ke P, siz uning istalgan ikkitasi orasidagi masofani aniqlay olasiz

X va Y nuqtalari . Bunday masofa r P

( X , Y ) mini deb nomlanadi

X va Y ni P ga bog'laydigan mallnow qiyalik uzunligi . Bu masofa

r P.

( X , Y ) metrik supurish P deyiladi .

Ikkita P va Q supurish izometrik deyiladi, agar

ularning nuqtalari o'rtasida shunday o'zaro o'xshashlikni o'rnatish mumkin

juftliklar orasidagi masofalar muhim ahamiyatga ega

ochkolar teng bo'ladi. Bu fikrlar o'rtasidagi yozishmalar

P va Q supurishlariga izometriya deyiladi .

Xarita tuzuvchi f Sweep F rayba Q ataladi podo-

k > 0 koeffitsienti bilan , agar juftliklar uchun mos keladigan bo'lsa

ball ( X , Y ) dan R va ( f ( X ), f ( Y ) dan) Q bo'ladi

davlat:

r

Q

( f ( X ), f ( Y )) = dan r gacha

R

( X , Y ).

Izometriya - koeffitsient bilan o'xshashlikning alohida holati

k = 1.

15-bet

o'n besh

1.6. Ko'p yuzli sirtning yo'naluvchanligi (ko'p

yuzni skanerlash). Geometrik shakllar sifatida AB chiziqlari

va VA bir xil ko'rsatkich: ularning tepaliklari tartibi yo'q

qiymatlar yo'q. Ammo AB va BA yo'naltirilgan segmentlari allaqachon mavjud

turli xil ob'ektlar, chunki ularni chetlab o'tish o'rnatilgan : yo'naltirilgan

segment AB nuqtasi dan A nuqta uchun B va yo'nalish segment

BA - B nuqtadan A nuqtagacha (12-rasm). Vazifa haqida so'zlar o'rniga

segmentni bosib o'tish segmentning yo'nalishi haqida gapiradi . Kimdir

segment, ikkita yo'nalish mavjud va bu yo'nalishlar, albatta

aksincha deyiladi .

Anjir. 12. Chiziq yo'nalishi

Endi uchburchaklarga murojaat qilaylik. Qanday geometrik

raqamlar, ABC , CAB , BCA , BAC , CBA va ACB oltita uchburchaklar -

ular bitta raqam. Ammo agar biz tepaliklardan o'tishni nazarda tutsak

yozilgan harflar tartibi bilan berilgan bu uchburchaklar

olti so'z ABC , CAB va boshqalar, keyin biz 13a rasmda ko'ramiz

ikkita qarama-qarshi o'tish yo'llari - "soat yo'nalishi bo'yicha" va "pro

soat yo'nalishi bo'yicha ". Shunga qaramay, bypass vazifasi haqida so'zlar o'rniga

uchburchak uchburchakning yo'nalishini bildiradi . Aniq,

bu uchburchak yo'nalishini belgilovchi ogohlantiruvchi yo'nalishini

uning yon tomonlari (13b-rasm).

16-bet

o'n olti

Shakl 13a. Qarama-qarshi uchburchakni kesib o'tish

Shakl 13b. Uchburchak yo'nalishlari

Endi biz uchburchak ko'pburchakka murojaat qilamiz

sirt M (yoki uchburchak skanerga M ). Orien-

biz ushbu T uchburchagining barcha uchburchaklarini triklaymiz va ko'rib chiqamiz

unga qo'shni T 1 va T 2 uchburchaklarining istalgan ikkitasi umumiy

AB tomoni (14-rasm). Agar berilgan yo'nalishlar uchburchak bo'lsa

T 1 va T 2 taxalluslari ularning umumiy tomonida AB aksini keltirib chiqaradi

ijobiy yo'nalishlar, keyin ular yo'nalishlarning uchburchak ekanligini aytishadi

T 1 va T 2 taxalluslari kelishilgan.

Shakl 14. Uchburchakli ko'p qirrali sirt

Sahifa 17

Agar ko'p qirrali yuzaning bunday uchburchagi bo'lsa

Ness M , barcha uchburchaklar, shuning uchun bu yo'naltirilgan mumkin

har qanday ikkita qo'shni uchburchakning yo'nalishlari mos kelishini

qanotlari, keyin ko'p qirrali yuza M orientatsion deyiladi

hukmronlik qildi . Agar bunday triangulyatsiya mavjud bo'lmasa, u holda M chaqiriladi

yo'naltirilmagan ko'rinadi .

SAVOLLAR VA MASQALAR

1. Ko'p qirrali sirt deb nimaga aytiladi?

2. Ko'p qirrali yuzaning qirrasi qanday?

3. Qaysi ko'p qirrali sirt yopiq deyiladi?

4. Ko'p qirrali yuzaning Eyler xarakteristikasi deb nimaga aytiladi?

5. Ko‘p qirrali yuza tepasining egriligi qanday?

6. Yopiq ko'p qirrali yuzaning egriligi va uning eli qanday

xandaq xarakteristikasi?

7. Ko'p yuzli sirtning ichki metrikasi nima?

8. Ichki metrikadagi qarama-qarshilik orasidagi masofalar qanday

chekkasi 1 bo'lgan quyidagi ko'p qirrali tepaliklar: a) kub; b) sakkizta

elra; v) ikosaedrmi?

9. Qaysi ko'p qirrali sirt yo'naltiruvchi deb ataladi?

10. Yo'naltirilmaydigan ko'p qirrali yuzalar misollarini bilasizmi?

18-bet

o'n sakkiz