Xosmas integrallarning umumiy holi

Integral alomat. Agar

bo`lib, chekli son bo`lsa, qator yaqinlashuvchi bo`ladi, bo`lsa, qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
3-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
◄ Agar deyilsa, unda bu funksiya oraliqda integral alomatda keltirilgan barcha shartlarni qanoatlantiradi. Bu funksiyaning boshlang`ich funksiyasi

bo`ladi.
Ravshanki,

bo`lib, bo`lganda

bo`ladi.
Demak, integral alomatga ko`ra

qator bo`lganda yaqinlashuvchi, bo`lganda uzoqlashuvchi bo`ladi. ►
Odatda, qator umumlashgan garmonik qator deyi-ladi.
4⁰. Raabe alomati. Agar musbat hadli
(1)
qatorda ning biror qiymatidan boshlab, uchun

bo`lsa, (1) qator yaqinlashuvchi bo`ladi,

bo`lsa, (1) qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
◄Aytaylik, (1) qator hadlari uchun

bo`lsin. Bu tengsizlikdan
(8)
bo`lishi kelib chiqadi.
Endi tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonini olib, uni

kabi ifodalaymiz. Limit xossasiga ko`ra, shunday topiladiki, barcha lar uchun
,
ya`ni
(9)
tengsizlik o`rinli bo`ladi.
(8) va (9) munosabatlardan barcha lar uchun

bo`lishi kelib chiqadi.
Bu tengsizlikni va bo`lganda qatorning yaqinlashuvchiligini e`tiborga olib, so`ng 50-ma`ruzadagi 4-teoremadan foydalanib, berilgan qatorning yaqinla-shuvchi bo`lishini topamiz.
Endi (1) qatorning hadlari uchun bo`lganda

bo`lsin. Bu tengsizlikni quyidagicha:

yozish mumkin.
Bu tengsizlikni va qatroning uzoqlashuvchiligi e`tiborga olib, yana 50-ma`ruzadagi 4-teoremadan foydala-nib, berilgan qatorning uzoqlashuvchi bo`lishini topamiz. ►
Ko`p hollarda Raabe alomatining quyidagi limit ko`ri-nishidan foydalaniladi:
Faraz qilaylik, musbat hadli (1) qator hadlari uchun

mavjud bo`lsin. U holda:
1) bo`lganida (1) qator yaqinlashuvchi bo`ladi,
2) bo`lganida (1) qator uzoqlashuvchi bo`ladi.
4-misol. Ushbu

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
◄ Bu qator uchun

bo`lib,

bo`ladi.
Agar , ya`ni bo`lsa, berilgan qator yaqinla-shuvchi bo`ladi.
Agar , ya`ni bo`lsa, berilgan qator uzoqla-shuvchi bo`ladi
Agar bo`lsa, Raabe alomati berilgan qatorning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligi haqida xulosa qilolmaydi.►
Mashqlar

1. 
   Ushbu
   

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin, bunda ketma-ketlikning har bir hadi musbat bo`lib, .

2. 
   Ushbu
   

qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.