Xojiyev amalning matematik analiz fanidan Teylor formulalaring tadbiqlari mavzusida mustaqil ishi

2⁰. Ixtiyoriy funksiyaning Teylor formulasi va uning qoldiq hadlari. Faraz qilaylik, funksiya da berilgan bо‘lib, bо‘lsin. Bu funksiya nuqtaning

atrofida hosilalarga ega bо‘lsin. Funksiya hosilalaridan foydalanib, ushbu

kо‘phadni tuzamiz.

Agar funksiya darajali kо‘phad bо‘lsa, ravshanki,

bо‘ladi.

Agar funksiya kо‘phad bо‘lmasa,

bо‘lib, ular orasidagi farq yuzaga keladi. Uni orqali belgilaymiz:

.

Natijada ushbu

ya’ni,

(3)

formulaga kelamiz. Bu (3) formula funksiyaning Teylor formulasi deyiladi. (3) formuladagi esa Teylor formulasining qoldiq hadi deyiladi.

Endi qoldiq had ni aniqlaymiz. nuqtaning atrofidagi ni tayinlab, ushbu

funksiyani (yoki ) da qaraymiz.

Bu funksiya segmentda uzluksiz bо‘lib, da hosilaga ega bо‘ladi:

Demak,

.

Endi da uzluksiz, da chekli (nolga teng bо‘lmagan) hosilaga ega funksiyani olib, va funksiyalarga da Koshi teoremasini qо‘llaymiz. Natijada quyidagi

(4)

tenglikka kelamiz, bunda .

Ravshanki,

Unda (4) tenglikdan

(5)

bо‘lishini topamiz.