X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

1. Birinchi zaruriy shart. 3-mavzudagi kabi birinchi variatsiyani topib nolga tenglashtiramiz, natijada avvalo integral ko’rinishdagi Eyler-Logranj tenglamasiga kelamiz, undan Eyler-Logranjning quyidagi differentsial ko’rinishdagi tenglamalar sistemasini topamiz.
(4.3)
(4.3) sistemaning silliq echimiga ekstremal deyiladi.
Agar (4.3) sistema echimining burchak nuqtasining abtsissasi bo’lsa va bu echimda (4.1) funktsional ekstremumga erishsa, u holda quyidagi Veyershtrass-Erdman sharti bajarilishi zarur.
(4.4)


(4.5)
Bu 2-mavzudagi kabi bajariladi.
Agar (4.1.) funktsionalga minimum beruvchi vektor funktsiya ekstremallar bo’laklaridan iborat bo’lsa va bu bo’laklar ulangan nuqtalarda Veyershtrass-Erdman sharti bajarilsa, ekstremal siniq ekstremal deyiladi.
2. Ikkinchi zaruriy shart. 3-mavzudagi kabi (4.1) funktsionalning ikkinchi variatsiyasi orqali ifodalangan ning nomanfiy (nomusbat) bo’lishi bilan bog’liq minimum (maksimum) shartlarini keltirib chiqarish mumkin.
Bu shartdan Lejandr sharti-ya’ni ekstremalning har bir nuqtasida (maksimumga) minimumga erishganda
(4.6)
kvadratik formaning (nomanfiy) nomusbat bo’lishi kelib chiqadi. (4.6) formaning nomanfiy bo’lishi quyidagilarga ekvivalent.
(4.6´)
3. Uchinchi zaruriy shart. (4.1) funktsionalga minimum (maksimum) beruvchi ekstremalning har bir nuqtasida
(4.7)
Veyershtrass funktsiyasi nomanfiy (nomusbat) bo’lishi zarur, bu erda -ixtiyoriy chekli vektor.
4. To’rtinchi zaruriy shart. 2-mavzudagi kabi qo’shma nuqta tushunchasi kiritiladi. uchun Yakobi differentsial tenglamalar sistemasi tuziladi. nuqta nuqtaga qo’shma nuqta deyiladi, agar Yakobi tenglamalar sistemasi va da nolga teng bo’lib, va oralig’ida nolga teng bo’lmasa. Agar funktsiyada (4.1) funktsional minimumga erishsa, u holda oraliq nuqtaga qo’shma bo’lgan nuqtani o’zida saqlamaydi.
5. Transversallik sharti. Agar ekstremal bo’lsa,
(4.8)
chegaralari o’zgaruvchi bo’lgan integralning differentsiali
(4.9)
dan iborat bo’ladi. Ekstremalning chekka nuqtalarida quyidagi transversallik sharti bajariladi.
(4.10)
Agar uchi o’zgarmas va ikkinchi uchi gipersirtda yotsa (4.10) shart

vektor, vektorga ortogonal va natijada funktsiyaning gradientiga kollenear bo’ladi. Bu esa transversallik shartini quyidagicha yozish mumkinligini ko’rsatadi.
(4.11)