X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

Echimi kutilayotgan ilmiy muamolar.
1. Ixtiyoriy chiziq bilan chegaralangan sohaning yuzasini topish.
2. Mayer, Logranj va Balts masalalarini amaliy masalalar bilan bog’lash.


b) Amaliy mashg’ulotlarning tuzilishi
1-amaliy mashg’ulot. Izoperimetrik masalani echish.


Darsning maqsadi:
1. Shartli ekstremumni qo’llash.
2. Izoperimetrik masalalarni echish.


Identiv o’quv maqsadlari:
1. Shartli ekstremumni qo’llaydi.
2. Izoperimetrik masalalarni echadi.


Amaliy mashg’ulotni bajarish uchun namuna.
Masala-1. (Didona masalasi). Uzunligi bo’lgan yopiq egri chiziqlar bilan chegaralangan sohalar ichidan eng katta yuzaga ega bo’lganini toping.
Echish. Eng katta yuzaga ega bo’lgan sohani chegaralovchi egri chiziq qavariq bo’ladi, aks holda botiq qismini kesma orqali akslantirib uzunligi o’zgarmas lekin katta yuzani chegaralovchi egri chiziqqa ega bo’lamiz. Undan tashqari yopiq egri chiziqni ikkiga bo’luvchi kesma, eng katta sohani ham teng ikkiga bo’ladi.
Abtsissa o’qida egri chiziqni teng ikkiga bo’ladigan kesmani olamiz. Natijada masala quyidagi ko’rinishda bo’ladi.
shartni qanoatlantiruvchi uzunligi va kesma bilan birgalikda eng katta yuzani chegaralovchi egri chiziqni toping. Bu masalani quyidagi variatsion hisob masalasi shaklida yozamiz.
(5.5)
shartni qanoatlantiruvchi
(5.6)
funktsionalning ekstremumini toping.
Echish. Yordamchi
(5.7)
funktsiyani tuzib, masalaning shartsiz ekstremumini topishga keltiramiz. Yordamchi funktsional
(5.8)
ko’rinishda bo’ladi. (5.8) funktsional uchun Eyler-Logranj tenglamasi quyidagicha bo’ladi.

yoki

Bundan quyidagi differentsial tenglamaga kelamiz.

hosil bo’lgan tenglamaning echimi

markazi nuqtada, radiusi bo’lgan aylanadan iborat. larni chegara shartlar va (5.5) qo’shimcha shartdan topish mumkin. Demak uzunligi kichik va eng katta yuzani chegaralovchi yopiq chiziq aylanadan iborat ekan. U chegaralangan yuza doiraning yuzasi bo’ladi.