1-mavzu: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning kanonik formalari va tavsifi. Xarakteristik tenglamasi. Koshi masalasining qo‘yilishi. Bir o’lchovli to’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi. Dalamber formulasi

1.
 
x
F
chegaralangan: 
.
1
)
(
0


x
F
2
 
x
F
kamaymaydigan funksiya: agar 
2
1
x
x

bo’lsa , u holda 
(
)
(
1
F
x
F

)
2
x
. 
3. 
 
,
0
)
(
lim






x
F
F
x
 
.
1
)
(
lim






x
F
F
x
4
. 
 
x
F
funksiya chapdan uzluksiz: 
).
(
)
(
lim
0
0
0
x
F
x
F
x
x



Agar
 
X
tasodifiy 
miqdor 

,
,
2
1
x
x
qiymatlarni 
mos 
ravishda 

,
,
2
1
p
p
ehtimolliklar bilan qabul qiladigan diskret tasodifiy miqdor bo’lsa, u holda 
uning taqsimot funksiyasi
 
quyidagicha aniqlanadi:
 







x
x
i
i
p
x
X
P
x
F
Bu yerda 
i
x
ning 
x
dan kichik bo’lgan qiymatlarining ehtimolliklari yig’indisi 
olinadi. 
Quyida 







5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
p
p
p
p
p
x
x
x
x
x
X
diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi 
ko’rinishi keltirilgan: 

---




























5
5
4
4
3
2
1
4
3
3
2
1
3
2
2
1
2
1
1
1
1
0
)
(
x
x
x
x
x
p
p
p
p
x
x
x
p
p
p
x
x
x
p
p
x
x
x
p
x
x
x
F
X
diskret tasodifiy miqdorning 
 
b
a
;
oraliqdan qiymat qabul qilish ehtimolligi 








b
x
a
i
i
p
b
X
a
P
bo’ladi. 
Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun diskret tasodifiy miqdor kabi taqsimot 
qonunini aniqlab bo’lmaydi, chunki uzluksiz tasodifiy miqdor chekli yoki cheksiz 
oraliqning har bir qiymatini qabul qilishi mumkin va bunday qiymatlar soni 
sanoqsiz. Shu sabab uzluksiz tasodifiy miqdorlarni tasvirlashda taqsimot va zichlik
 
funksiyalaridan foydalaniladi. 
Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyasi.
 
Barcha 





x
uchun 
X
tasodifiy miqdor (diskret yoki uzluksiz) ning 
x
dan kichik qiymat qabul 
qilish ehtimoli kabi aniqlangan funksiyaga 
X
tasodifiy miqdorning taqsimot 
funksiyasi deyiladi: 


 
.
x
F
x
X
P


 
Taqsimot funksiyasining xossalari: 
1.Taqsimot funksiyasining o’zgarish sohasi: 
 
1
;
0
. 
2.
X
tasodifiy miqdorning 
 
b
a
;
oraliqda qiymat qabul qilish ehtimoli:


   
a
F
b
F
b
X
a
P




3.
 
 
x
F
-kamaymaydigan funksiya, ya’ni agar 
2
1
x
x

bo’lsa, u holda. 
 
 
2
1
x
F
x
F

4. 
 
0



F
, 
 
1


F
. 
5. Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun: 
a

da 


0


a
X
P
va quyidagi tengliklar 
o’rinli: 



 



   
a
F
b
F
b
X
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P
b
X
a
P













. 

---

Taqsimot zichligi. 
X
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidan olingan hosila tasodifiy 
miqdorning zichlik funksiyasi deyiladi. 
 
 
x
F
x
f


Zichlik funksiyasining xossalari: 
1.
 
x
F
- kamaymaydigan funksiya bo’lgani uchun 
 
0

x
f
.
2.
Zichlik funksiyasi berilgan bo’lsa, taqsimot funksiyasi
 
 




x
dt
t
f
x
F
formula bilan aniqlanadi. 
3.
X 
tasodifiy miqdorning 
 
b
a
;
oraliqdan qiymat qabul qilish ehtimolligi: 


 




b
a
dx
x
f
b
X
a
P
4.
Zichlik funksiyasidan 





:
oraliq bo’yicha olingan integral birga teng: 
 





1
dx
x
f
X
tasodifiy miqdor o’zining taqsimot funksiyasi 
 
x
F
yoki zichlik funksiyasi 
 
x
f
bilan bir qiymatli aniqlanadi. 
Agar uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan barcha qiymatlari 
tеgishli bo’lgan (
a,b
) oraliqda












lsa
bo
b
x
agar
lsa
bo
x
a
agar
a
b
lsa
bo
a
x
agar
x
f
'
,
,
,
0
'
,
,
1
'
,
,
,
0
)
(
zichlik funksiyaga ega bo’lsa, bunday tasodifiy miqdor (
a,b
) oraliqda tеkis 
taqsimlangan tasodifiy miqdor dеyiladi. 
Agar 
X 
uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi: 
2
2
2
)
(
2
1
)
(



a
x
e
x
f




---

ko’rinishda bеrilgan bo’lsa,
X
tasodifiy miqdor normal taqsimot qonuniga 
bo’ysunadi dеyiladi. 
Normal taqsimlangan 
X 
uzluksiz tasodifiy miqdorning (

,

) oraliqqa tushish 
ehtimoli: 
(
)
(
)
(
)
a
a
P
X
F
F












formula bo’yicha hisoblanadi, bu yеrda 
2
2
0
1
F( )
2
x
z
x
e
dz




Laplas funksiyasi. 
Agar zichlik funksiyasi 







lsa
bo
x
agar
e
lsa
bo
x
agar
x
f
x
'
,
0
,
,
'
,
0
,
,
0
)
(


ko’rinishda bеrilgan bo’lsa, X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimoti ko’rsatkichli 
taqsimot dеyiladi. 
 
p
x
F
p

bilan aniqlanadigan 
p
x
kattalik taqsimotning 
p
-
tartibli kvantili
 
deyiladi. 
0,5 - tartibli kvantili taqsimot medianasi
 
deyiladi: 
0
x
medX

. 
Agar zichlik funksiyasi maksimum nuqtaga ega bo’lsa, 
 
x
f
funksiyani 
maksimumga erishadigan 
x
argumentning qiymati taqsimot modasi
 
deyiladi. 
Namunaviy misollar yechish 
1-Misol. 
X
tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi
kx
e
cx
x
f


2
)
(
,






x
k
0
;
0
. 
a)
c
koeffitsientni aniqlang; 
b)
X
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.
d) 
X
tasodifiy miqdorning 


k
/
1
;
0
oraliqqa tushish ehtimolligini toping. 
Yechish. 
a) c koeffitsientni 
 





1
dx
x
f
tenglikdan aniqlaymiz: 

---

 
1
2











dx
e
cx
dx
x
f
kx
;
1
0
2











dx
e
x
c
kx
Ikki marta bo’laklab integrallasak, 
2
/
3
k
c

va zichlik funksiyasi 
 
kx
e
x
k
x
f


2
3
2
hosil 
bo’ladi. 
b)
X
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini quyidagicha topamiz: 
kx
x
x
kt
e
kx
x
k
dt
e
t
k
dt
t
f
x
F












2
2
2
1
2
)
(
)
(
2
2
0
2
3
; 



x
0
. 
a)
X
tasodifiy miqdorning 


k
/
1
;
0
oraliqqa tushish ehtimolligini topamiz: 
 
086
,
0
2
/
5
1
)
0
(
/
1
)
/
1
;
0
(





e
F
k
F
k
P
2-Misol.
 X
– diskrеt tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot qonuni bilan bеrilgan. 
X 
-2 
-1 
0 
1 
2 
P 
0,1 
0,2 
0,2 
0.4 
0.1 
Uning taqsimot funksiyasini toping. 
Yechish.
Ko’rinib turibdiki, 
x

(-

;-2] uchun 
X
hodisa mumkin bo’lmagan 
hodisa bo’ladi, ya’ni: 
F(
x
)=0. 
Endi 
x

(-2;1] bo’lsin. U holda: 
F(x)=P(X
0,1. 
Agar 
x

(-1;0] bo’lsa, 
F(x)=P(X
0,1+0,2=0,3 
xuddi shuningdеk, 
x

(0;1] bo’lsa, 
F(x)=
0,1+0,2+0,2=0,5. 
Agar 
x

(1;2] bo’lsa, 
F(x)=
0,1+0,2+0,2+0,4=0,9. 
Agar 
x
>2 bo’lsa, 
F(x)=P(X
=1,
chunki ixtiyoriy 
x
>2 uchun 
X
hodisa muqarrar hodisa bo’ladi. 

---

Shunday qilib
, F(x)
taqsimot funksiyaning analitik ifodasini quyidagi ko’rinishda 
yozamiz. 

























,
'
,
2
,
,
1
,
'
,
2
1
,
,
9
.
0
,
'
,
1
0
,
,
5
.
0
,
'
,
0
1
,
3
.
0
,
'
,
1
2
,
1
.
0
,
'
,
2
,
,
0
)
(
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
F
3-Misol.
X 
tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot funksiya bilan bеrilgan.

















lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
lsa
bo
x
agar
x
F
'
,
3
1
,
,
1
'
,
3
1
1
,
4
3
4
3
'
,
1
,
,
0
)
(
Sinov natijasida X tasodifiy miqdorning (0;
3
1
) intеrvalda yotgan qiymatni qabul 
qilish ehtimolini toping. 
Yechish.
Taqsimot funksiyaning 2-xossasiga asosan: 
P(a
Bu formulaga 
a
=0, b=
3
1
ni qo’yib, quyidagini hosil qilamiz: 
4
1
4
3
4
3
4
3
4
3
)
0
(
3
1
)
3
1
0
(
0
3
1

























x
x
x
x
F
F
X
P
4-Misol.
X uzluksiz tasodifiy miqdorning














lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
lsa
bo
x
agar
x
F
'
4
,
,
1
'
4
0
,
2
sin
'
0
,
,
0
)
(


taqsimot funksiyasi berilgan, 
f(x)
zichlik funksiyani toping. 
Yechish.
Zichlik funksiya taqsimot funksiyadan olingan birinchi tartibli hosilaga 
teng 

---
















,
4
,
,
0
2
0
,
,
2
cos
2
,
0
,
,
0
)
(
)
(
,
,
,
'
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
lsa
bo
x
agar
x
F
x
f


. 
5-Misol.
X 
uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan: 














lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
lsa
bo
x
agar
x
f
,
,
,
2
,
,
0
2
0
,
,
cos
,
0
,
,
0
)
(


F(x)
taqsimot funksiyani toping. 
 




x
dz
z
f
x
F
)
(
)
(
formuladan foydalanamiz. Agar 
x
< 0 bo’lsa, F(
x
)=0
Demak, 
0
0
)
(





x
dz
x
F
Agar 0<
x
<
2

bo’lsa, F(
x
)=






0
0
sin
cos
0
x
x
zdz
dz
bo’ladi 
Agar 
x
>
2

bo’lsa ,
0
/2
/2
0
0
/2
( )
0
cos
0
sin
1
x
F x
dz
zdz
dx
z












bo’ladi 
Demak, izlanayotgan taqsimot funksiya quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: 














,
2
,
,
1
2
0
,
,
sin
,
0
,
,
0
)
(
,
,
,
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
lsa
bo
x
agar
x
F


6-Misol.
X
uzluksiz tasodifiy miqdor quyidagi zichlik funksiyaga ega. 


---















,
3
,
,
0
3
0
,
,
3
sin
3
2
,
0
,
,
0
)
(
,
,
,
lsa
bo
x
agar
lsa
bo
x
agar
x
lsa
bo
x
agar
x
f


X
tasodifiy miqdorning 






4
;
6


intervalga tegishli qiymatni qabul qilish ehtimolini 
toping. 
Yechish:
 P(a

b
a
dx
x
f
)
(
formuladan foydalanamiz. 
P(
6


4

)=
3
2


4
/
6
/
9
2
3
sin


xdx