1-mavzu: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning kanonik formalari va tavsifi. Xarakteristik tenglamasi. Koshi masalasining qo‘yilishi. Bir o’lchovli to’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi. Dalamber formulasi

---

4-Semestr 
1-mavzu: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning 
kanonik formalari va tavsifi. Xarakteristik tenglamasi. Koshi masalasining 
qo‘yilishi.Bir o’lchovli to’lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi.Dalamber 
formulasi. 
 
Fazodagi biror sohada aniqlangan va o’z o’zgaruvchilarining uzluksiz 
funksiyasidan iborat 
)
,
,
(
z
y
x
f
u

funksiyadan 
)
,
,
(
z
y
x
a
a
a
a

vektor bo’yicha hosilani 
hisoblash uchun quyidagi algoritm bo’yicha ish ko’riladi: 
Dastlab 
)
,
,
(
z
y
x
a
a
a
a

vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari topiladi: 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
,
cos
,
cos
z
y
x
z
z
y
x
y
z
y
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a












. (1) 
Berilgan 
)
,
,
(
z
y
x
f
u

funksiyaning 
y
u
x
u




,
va 
z
u


xususiy hosilalari hisoblanadi.
Topilgan qiymatlarni



cos
cos
cos
lim
0
z
u
y
u
x
u
d
u
a
u
d
















(2) 
tenglikka qo’yiladi. 
Agarda 
a

vektorning Dekart koordinata o’qlari bilan tashkil etgan 
burchaklari berilsa, 1-qadamni bajarmasdan ishni 2-qadamdan boshlanadi.
 
1-Misol.
Berilgan 
xy
y
xy
y
x
x
y
x
u
10
2
2
)
,
(
3
2
2
3





funksiyadan 
OX
o’qi 
musbat yo’nalishi bilan 
6



burchak tashkil etuvchi 
a

vektor boyicha hosilani 
hisoblang.
 
 Yechish:
Ushbu misolda ikki o’zgaruvchili funksiyaning berilgan yo’nalish 
bo’yicha hosilasini topish so’ralmoqda. Bizga yo’naltiruvchi kosinuslarning 

---

burchaklari 
3
6
2
,
6










berilganligi uchun ularning qiymatlarini 
hisoblaymiz:
2
1
3
cos
cos
,
2
3
6
cos
cos








. 
xy
y
xy
y
x
x
y
x
u
10
2
2
)
,
(
3
2
2
3





funksiyaning 
x
va 
y
bo’yicha xususiy 
hosilalarini hisoblaymiz: 
2
2
2
2
3
6
2
)
,
(
,
10
3
4
3
)
,
(
y
xy
x
y
y
x
u
y
y
xy
x
x
y
x
u











U holda berilgan 
)
,
(
y
x
u
funksiyaning berilgan yo’nalish bo’yicha hosilani 
hisoblash uchun (6) formuladan foydalanamiz:
















2
1
)
3
6
2
(
2
3
)
10
3
4
3
(
cos
cos
2
2
2
2
y
xy
x
y
y
xy
x
y
f
x
u
a
u



y
y
xy
x
3
5
2
3
3
3
)
3
3
2
(
2
)
2
3
3
(
2
2







 
Misol.
2
2
3
2
)
,
,
(
z
yz
xy
x
z
y
x
u




funksiyaning 
)
1
,
0
,
1
(

A
nuqtadagi 
k
j
i
a
2
2




vektor yo’nalishi bo’yicha hosilasini toping.
Yechish:
Vektor yo’nalishi bo’yicha hosilaning ta’rifiga va (2) formulaga 
binoan quyidagi ifodaning
)
1
,
0
,
1
(

A
nuqtadagi qiymatini hisoblashimiz kerak: 



cos
cos
cos
z
u
y
u
x
u
a
u












Buning uchun dastlab 
k
j
i
a
2
2




vektorning yo’naltiruvchi kosinuslarini 
hisoblaymiz:
3
1
4
4
1
1
|
|
cos





a
a
x


, 
3
2
4
4
1
2
|
|
cos





a
a
y


, 
.
3
2
4
4
1
2
|
|
cos





a
a
z



---

Berilgan 
2
2
3
2
)
,
,
(
z
yz
xy
x
z
y
x
u




funksiyaning birinchi tartibli xususiy 
hosilalarining 
)
1
,
0
,
1
(

A
nuqtadagi qiymatlarini hisoblaymiz:
2
0
2
)
1
(
2
)
)(
2
2
(
)
(











A
y
x
x
A
u
, 
1
1
3
)
1
(
2
)
)(
3
2
(
)
(










A
z
x
y
A
u
, 
2
1
2
0
3
)
)(
2
3
(
)
(









A
z
y
z
A
u
U holda yuqorida keltirilgan formulaga binoan berilgan funksiyaning 
k
j
i
a
2
2




vektor bo’yicha hosilasining 
)
1
,
0
,
1
(

A
nuqtadagi qiymatini olamiz:
3
1
3
2
2
3
2
1
3
1
2
)
(










a
A
u

Ushbu
0
)
,
,
,
,
(
2
22
12
11




y
x
yy
xy
xx
u
u
u
y
x
F
u
a
u
a
u
a
(1) 
ko’rinishdagi ikkinchi tartibli ikki o’zgaruvchili xususiy hosilali differensial 
tenglamani qaraymiz. Bunda 
22
12
11
,
,
a
a
a
koeffitsientlar 
y
x
,
ning funksiyalari. Bu 
yerda xususiy holda 
F
funksiya 
y
x
u
u
u
,
,
larga nisbatan chiziqli bo’lishi ham 
mumkin. 
0
)
(
2
)
(
2
22
12
2
11



dx
a
dxdy
a
dy
a
(2) 
oddiy differensial tenglama (1) tenglamaning 
xarakteristik tenglamasi
deyiladi. 
Xarakteristik 
tenglamaning 
umumiy 
yechimlari 
(1) 
tenglamaning 
xarakteristikalari
deyiladi. 
(2) xarakteristik tenglama 
0
11

a
bo’lganda quyidagi ikkita birinchi tartibli 
oddiy differensial tenglamalarga ajraladi:
11
22
11
2
12
11
12
a
a
a
a
a
a
dx
dy



(3) 
11
22
11
2
12
11
12
a
a
a
a
a
a
dx
dy



(4) 

---

Bu tenglamalardagi radikal ostidagi 
22
11
2
12
a
a
a



ifodaning ishorasiga qarab, 
(1) tenglama tiplarga ajraladi:
1)
Agar 
M
nuqtada 
0
22
11
2
12




a
a
a
bo’lsa, (1) tenglama giperbolik tipdagi 
tenglama deyiladi.
2)
Agar 
M
nuqtada 
0
22
11
2
12




a
a
a
bo’lsa, (1) tenglama parabolik tipdagi 
tenglama deyiladi.
3)
Agar 
M
nuqtada 
0
22
11
2
12




a
a
a
bo’lsa, (1) tenglama elliptik tipdagi 
tenglama deyiladi.
Agar tenglama qaralayotgan sohaning barcha nuqtalarida 
0


yoki 
0


yoki 
0


bo’lsa, (1) tenglama mos ravishda 
giperbolik
, 
parabolik 
va 
elliptik 
tipga tegishli deyiladi.
Agar tenglama qaralayotgan sohaning turli qismlarida 
22
11
2
12
a
a
a



ifodaning ishorasi turlicha bo’lsa, (1) tenglama bu sohada 
aralash tipdagi 
tenglama 
deyiladi.
1. 
0


bo’lsin. (1) giperbolik tipli tenglama bo’lib, (2) xarakteristik 
tenglamaning umumiy yechimlari haqiqiy har xil 
2
1
)
,
(
,
)
,
(
C
y
x
C
y
x




bo’ladi. 
Agar (1) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni 
)
,
(
),
,
(
y
x
y
x






tengliklar orqali 
almashtirsak, tenglama
)
,
,
,
,
(
1





V
V
V
Q
V

(5) 
ko’rinishga keladi, bu yerda 
)
,
(
)
,
(
y
x
u
V



tenglama giperbolik tipdagi 
tenglamalarning 
kanonik 
ko’rinishi 
deyiladi. 
(5) 
tenglamada 


,
o’zgaruvchilardan yangi 


,
o’zgaruvchilarga 










,
tengliklar 
yordamida o’tsak, tenglama 
)
,
,
,
,
(
2






W
W
W
Q
W
W


(6) 
ko’rinishga keladi, (6) tenglama giperbolik tipdagi tenglamaning ikkinchi kanonik 
ko`rinishi deyiladi.
Misol. 
0
3
6
7





u
u
u
u
u
x
yy
xy
xx
tenglamani kanonik shaklga keltiring. 

---

Yechish: 
0
16
)
1
(
7
3
2
22
11
2
12






a
a
a
bo’lgani uchun, berilgan tenglama 
giperbolik tipga tegishli. (2) ga ko’ra berilgan tenglamaga mos xarakteristik 
tenglama 
0
6
7
2
2



dx
dxdy
dy
yoki 
0
)
)(
7
(



dx
dy
dx
dy
Bundan esa
0
7


dx
dy
yoki
0


dx
dy
bo’ladi. Bundan berilgan tenglamaning xarakteristikalarini topamiz:
,
7
1
C
x
y


.
2
C
x
y


Yangi 

va 

o’zgaruvchilarni 
x
y


7

x
y



kiritib, tenglamada 
qatnashayotgan hosilalarni hisoblaymiz:
.
14
49
,
7
,
6
7
,
2
,





















v
v
v
u
v
v
v
v
u
v
v
v
u
v
v
v
u
v
v
v
v
u
yy
y
y
y
xx
xx
x
x
x

















So’ng tenglamaga qo’yib, 
)
,
(
)
,
(
,
0
)
3
(
64
1
y
x
u
v
v
v
v
v










kanonik tenglamani olamiz. 
2.
0


bo’lsin. (1) parabolik tipdagi tenglama bo’lib, (2) xarakteristik 
tenglama bitta 
C
y
x

)
,
(

haqiqiy umumiy yechimga ega bo’ladi. Yangi erkli 
o’zgaruvchilarni 
)
,
(
),
,
(
y
x
y
x






(bu yerda 
)
,
(
y
x

sifatida
)
,
(
y
x

funksiyaga 
chiziqli bog’liq bo’lmagan ixtiyoriy funksiyani olish mumkin) deb olsak, bu 
tenglama
)
,
,
,
,
(
3





V
V
V
Q
V

(7) 
ko’rinishga keladi. 
(7) – parabolik tipdagi tenglamalarning kanonik ko’rinishi deyiladi. 
Oddiy differensial tenglamalar kursidan ma'lumki, n-tartibli 
0
=
)
,...,
,
,
(
)
(
n
'
y
y
y
x
F

---

oddiy differensial tenglamaning yechimi n ta ixtiyoriy o'zgarmasga bog'liqdir, ya'ni 
).
,...,
,
(
=
1
n
c
c
x
y
Bu o'zgarmaslarni aniqlash uchun noma'lum funksiya 
)
(
x
y
qo'shimcha shartlarni qanoatlantirishi kerak. 
Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun masala murakkabroqdir. Bu 
tenglamalarning umumiy yechimi oddiy differensial tenglamaning umumiy 
yechimidan farqli ravishda berilgan tenglamaning tartibiga teng bo'lgan sondagi 
ixtiyoriy funksiyalarga bog'liq bo'ladi. Ixtiyoriy funksiyalar argumentlarning soni 
yechim argumentlari sonidan bitta kam bo'ladi. Bu fikrning to'g'riligiga Koshi-
Kovalevskaya teoremasiga asosan ishonch hosil qilish mumkin. 
Ta'rif.
0
=
)
,
,
,
,
(
2
22
12
11
y
x
yy
xy
xx
u
u
u
y
x
F
u
a
u
a
u
a



(1) 
tenglamaning koeffitsientlari biror 

sohada uzluksiz bo'lsin. Agar 

sohada 
aniqlangan 
)
,
(
y
x
u
funksiya (1) tenglamada ishtirok etuvchi barcha hodilalari bilan 
uzluksiz bo'lib, uni ayniyatga aylantirsa, u holda 
)
,
(
y
x
u
funksiya (1) tenglamaning 
regulyar
(klassik) yechimi deyiladi. Bunday yechimlar to'plamiga (1) 
tenglamaning umumiy yechimi deyiladi. 
Buni sodda misollarda ko'rib chiqamiz. 
Misol.
Ushbu 
0
=
xy
u
yoki 
0
=
)
(
x
y
u
tenglamani qaraymiz. Uni 
x
bo'yicha 
integrallab, 
)
(
=
y
dy
du

tenglamani hosil qilamiz. Bunda 
y
y

)
(

ning ixtiyoriy 
funksiyasi. Oxirgi tenglamani 
y
bo'yicha integrallab,
)
(
)
(
=
)
,
(
1
x
dy
y
y
x
u




tenglikni hosil qilamiz.
Bunda 
x
x

)
(
1

ning ixtiyoriy funksiyasi.
)
(
=
)
(
2
y
dy
y



deb belgilab,
)
(
)
(
=
)
,
(
2
1
y
x
y
x
u



formulaga ega bo'lamiz.

---

Bu yerda 
)
(
1
x

ixtiyoriy funksiya bo'lganligi uchun 
)
(
2
y

ham
y
ning ixtiyoriy 
funksiyasi bo'ladi. 
Misol.
Uchinchi 
tartibli 
0
=
xyy
u
tenglamaning 
umumiy 
yechimi 
)
(
)
(
)
(
=
)
,
(
1
x
x
y
y
y
x
u





dan iborat bo'ladi. 
Yuqorida keltirilgan misollar 1-tartibli xususiy hosilali differensial 
tenglamalarning barcha yechimlari formulasi, ya`ni umumiy yechim bitta ixtiyoriy 
funksiyaga, m-tartibli tenglamaning umumiy yechimi m ta ixtiyoriy funksiyaga 
bog'liq bo'lishi kerak, degan fikrga olib keladi. 
Xususiy 
hosilali 
differensial 
tenglamalarning 
umumiy 
yechimini 
xarakteristikalar usuli (yoki Dalamber usuli) bilan ham topish mumkin. Tenglamani 
xarakteristikalar usuli bilan yechishda daslabki tenglama xarakteristikalari 
yordamida kanonik ko'rinishga keltiriladi, so'ngra kanonik tenglama integrallanib 
qaytadan eski o'zgaruvchilarga o'tilsa, berilgan tenglamaning umumiy yechimi 
hosil bo'ladi.