Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar



Download 92,76 Kb.
Sana31.12.2021
Hajmi92,76 Kb.
#219437
Bog'liq
mqmPLB9Y7Oc-Sb4i1wJuHtzZjhftll7w


3-MAVZU.

BIRINCHI TARTIBLI CHIZIQLI DIFFЕRЕNSIAL TЕNGLAMALAR. BIRINCHI TARTIBLI CHIZIQLI DIFFЕRЕNSIAL TЕNGLAMALARNI YECHISHNING BERNULLI VA LAGRANJ USULLARI. AMALIY MASALALARNI YECHISH


Nоma`lum funksiya va uning hоsilasiga nisbatan chiziqli bo‘lgan tenglamalar birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar deb ataladi.

Chiziqli tenglamaning umumiy ko‘rinishi quyidagicha:



, (3.1)

bu yerda lar x ning uzluksiz funksiyalari(yoki o‘zgarmaslar).

Agar tenglamaning o‘ng tomoni 0 bo‘lsa, (3.1) tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama bo‘ladi. deb faraz qilamiz.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani yechishning ikki xil usulini ko‘rib chiqamiz:



O‘rniga qo‘yish usuli. Bu usul Bernulli usuli deb ham ataladi. (3.1) tenglamaning yechimini x ning ikkita funksiyasining ko‘paytmasi shaklida izlaymiz:

(3.2)

Bu funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin, ikkinchisini esa (3.1)–tenglama asosida aniqlanadi. (3.2) tenglikdan ni hisoblaymiz:



(3.3)

u va ni (1) tenglamaga qo‘yamiz, natijada u quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:

(3.4)

yoki


. (3.5)

Funksiyalardan birini ixtiyoriy tanlab olish mumkin bo‘lgani uchun funksiyani qavs ichida turgan ifoda nolga teng bo‘ladigan qilib olamiz, ya’ni



(3.6)

bo‘lishini talab qilamiz. U holda funksiyani topish uchun (3.5) tenglikdan quyidagi tenglamani hosil qilamiz:



(3.7)

Dastlab, (3.6) tenglamadan ni topamiz:



.

(3.6) tenglamaning noldan farqli birorta yechimi zarur, shuning uchun C=1 deb olamiz. U holda



. (3.8)

ning bu topilgan ifodasini (3.7) tenglamaga qo‘yib, u funksiya uchun o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilamiz:

.

Bu tenglamani yechamiz:



(3.9)

(3.8) va (3.9) lar u va v ning x orqali ifodalarini beradi. u va v ni (3.2)ga qo‘yib, berilgan chiziqli tenglamaning umumiy yechimini hosil qilamiz



. (3.10)

1-misоl. diffеrеnsial tеnglamaning umumiy yеchimini tоping.

► Bеrilgan tеnglama birinchi tartibli chiziqli tеnglama bo‘lib . (3.10) ga asоsan,



Demak, umumiy yеchim



bo‘ladi.◄

O‘zgarmasni variatsiyalash usuli. Bu usul Lagranj usuli deb ham ataladi. Avval (3.1) tenglamaning bir jinsli qismining umumiy yechimini topib olamiz.









Hosil bo‘lgan umumiy yechimdagi o‘zgarmasni x ning funksiyasi deb olib, (3.1) tenglamaning yechimi bo‘ladigan C(x) ni qidiramiz, ya’ni

(3.11)

funksiyadan berilgan chiziqli differensial tenglamani yechimi bo‘lishini talab qilamiz. U holda

(3.12)

(3.11) va (3.12) lar (3.1) tenglamani qanoatlantiradi.





(3.13)

Endi (3.13) ni (3.11)ga qo‘yib,



yechimni hosil qilamiz, bu esa (3.10) tenglikning ayni o‘zidir.

2-misоl. diffеrеnsial tеnglamaning umumiy yеchimini tоping.

►Mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini o‘zgaruvchilarni ajratib topamiz.







Berilgan differensial tenglamaning yechimini ko‘rinishda qidiramiz. Buning uchun va larni berilgan tenglamaga qo‘yamiz.



,

.

Shunday qilib, berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi topamiz:



.◄

3-misol. Ushbu differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Auditoriya topshiriqlari

Quyidagi (1-8) tenglamalarning umumiy yechimlarini toping.



  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

  5. .

  6. .

  7. .

  8. , noma’lum funksiyani deb hisoblab yeching.

Quyidagi (9-12) tenglamalarning berilgan boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimlarini toping.

  1. .

  2. .

  3. .

  4. .

Download 92,76 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish