|
3-SEMINAR
Uchinchi tartibli ikki o‘zgaruvchili yuqori tartibli xosilalarga nisbatan chiziqli differensial tenglamalar.
Endi biz quyidagi o’zgarmas koeffitsiyentli 3-tartibli chiziqli tenglamani qaraymiz
O’zgaruvchilarni ) chiziqli almashtirishlar orqali quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz.
bu yerda koeffitsiyentlar (1.3) formula orqali ifodalanadi,
larni mos holatda orqali almashtirsak, u holda
,
,
munosabatiga ega bo’lamiz.
(6) xarakteristik tenglamasi bilan birgalikda, quyidagi tenglamalarni qaraymiz.
, (5)
. (6)
Umuman olganda , (1) tenglamani kanonik ko’rinishga keltirishdagi almashtirishlarni bajargandan so’ng , barcha va koeffitsiyentlar ishtirok etgan (2) tenglamaga kelamiz.
Ayrim hollarda bu koeffitsiyentlarga nisbatan soddaroq ko’rinishga ega bo’lgan kanonik holatga keltirish mumkin. Quyida biz shu holatni qaraymiz.
1) (6) tenglama bitta uch karrali (5) tenglama bitta 2- karrali (6) tenglama kabi ildizga ega bo’lsin.
U holda mumkin bo’lgan hollar
a) holni qaraymiz. almashtirishdan so’ng, (1),(3), (4) munosabatlarni e’tiborga olib, (3.1) tenglamani quyidagi ko’rinishga keltiramiz.
bu yerda
,
Ikkinchi almashtirishni bajarib, ya’ni tenglamani
ko’rinishga keltiramiz, bunda
b) holni qaraymiz. almashtirishlardan foydalanib, hamda (1), (3), (4) munosabatlarni e’tiborga olib quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz
bunda
Bu yerda o’rniga qo’yish orqali (8) tenglama
ko’rinishga keladi.
Anglash mumkinki, c) va d) hollarda (7) tenglamaga kelamiz ya’ni
bu almashtirishlar (2) tenglamani boshqa ko’rinishga keltiradi. Bundan tashqari oddiy differensial tenglamaga keltiriladi.
Eslatib o’tamizki, (6) temglama ildizi hech qanday qiymatga ega emas. Shu boisdan uni keltirmaymiz.
2) (1.6) tenglama bitta 3- karrali va (5) tenglama
ikkita ildizga ega. Mumkin bo’lgan hollar:
holda almashtirishdan so’ng
tenglamaga ega bo’lamiz, bu yerda
almashtirishlardan so’ng (9) ni
holga kelamiz.
b) holni o’rganamiz. (3.9) dan ma’lumki
almashtirishdan so’ng quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz
bu yerda
o’rniga qo’yishdan so’ng
tenglamaga kelamiz.
c) holatda almashtirishlarni bajarish lozim, bunda (10) tenglamaga ega bo’lamiz.
3) (6) tenglama bitta 3-karrali ildizga ega va (5) tenglama esa ikkita qo’shma kompleks ildizga ega. Bu holda tenglamani yangi ko’rinishga keltirmaydi, bundan (7) – (10) mustasno.
4) (6) tenglama ikkita va ildizlarga ega (bunda ni ikki karrali ildiz deb hisoblaymiz). (5) tenglama esa bitta ildizga ega. Mumkin bo’ladigan hollar:
a)
c)
Bu hollarning barchasida almashtirishni bajarish lozim. a) holda (2) va (3) munosabatlarni e’tiborga olib, (1) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz
bu yerda
(11) tenglamada keyingi soddalashtirishlarni bajarish uchun u funksiya o’rniga yangi funksiyani quyidagi formula orqali belgilaymiz
bu yerda
Natijada (12) orqali (11) ni quyidagicha yozamiz
bu yerda koeffitsiyentlar (3.11) orqali ifodalanadi, shu bilan birga
almashtirishlar orqali
tenglamaga ega bo’lamiz.
(11) dan ko’rinadiki b) holda ni e’tiborga olib, (13) ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz. c) holda esa quyidagi tenglamaga kelamiz.
bu yerda (11) munosabatdagi kabidir.
(14) tenglama almashtirishlardan keyin ko’rinishga keladi.
5) (6) tenglama 2 ta ( ikki karrali), (5) tenglama 2 ta ildizlarga ega. Mumkin bo’lgan hollar:
a) , , , ;
b) , , , ;
c) , , , ;
d) , , , ;
e) , , , :
a)- d) hollarda tenglama (13) yoki (14) ko’rinishda keltiriladi. almashtirishlardan so’ng quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz
bu tenglamani ko’rinishga kelishi mumkin.
6) (6) tenglama ikkita ( ikki karrali ) (5) tenglama ikkita ildizlarga ega.
Bu holatda tenglamani (13) – (15) dan boshqa ko’rinishdagi tenglamaga keltirmaydi.
Qayd etamizki (5) tenglama ildizlari hech qanday qiymat qabul qilmaydi. Bu hollarni qaraymiz.
7) (6) tenglama 3 ta ildizga ega, ya’ni .
(6) va (7) munosabatlarni e’tiborga olib, quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz
(12) kabi almashtirishlar tanlab olingandan so’ng ( lar tanlab olingan) quyidagini olamiz
bundan so’ng almashtirishlardan keyin
tenglamaga kelamiz.
Izoh. (17) tenglama almashtirishdan so’ng, quyidagi ko’rinishni oladi
8) (6) tenglama ildizlarga ega.
Bu holda 7) kabi almashtirishlarni bajarib, quyidagi tenglamaga kelamiz
Olingan tenglamalarni quyidagi teorema orqali ifodalaymiz.
Teorema 3.1. (1) tenglamani quyidagi kanonik ko’rinishga keltirish mumkin:
bu yerda (3.1) tenglama koeffitsiyentlariga hamda (6), (5) va (6) tenglama ildizlariga bo’g’liq sonlar.
Do'stlaringiz bilan baham: |
