Vodorod atomining kvant mehanika nazariyasi

3. Radial tenglama. (1.9) to‘lqin tenglamasi radial tenglama bo‘lib, protondan uzoqlik masofasi r ga bog‘liq ravishda de-Broyl to‘lqin funksiyasini ifodalaydi. Bu tenglamaning yechimi Lejandr polinomi L_n,e(r) ko‘rinishda bo‘lib, quyidagicha ifodalanadi:
(1.16)
Bunda n – noldan farqli bo‘lgan istalgan butun musbat son, ℓ – orbital kvant son, n – esa bosh kvant son deyiladi. Lejandr polinomi xossasiga asosan (1.16) yechim to‘g‘ri bo‘lishi uchun n>ℓ+1 bo‘lishi kerak. Bunday shartdan n ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan son qiymatlari kelib chiqadi.
Shunday qilib, uch (1.9), (1.12) va (1.13) tenglamalardan vodorod atomi uchun bir-biri bilan quyidagicha bog‘lanishda bo‘lgan uchta kvant sonlar tizimi hosil qilindi:
Bosh kvant son n = 1, 2, 3,…;
Orbital kvant son ℓ = 0, 1, 2, 3,…,(n–1);
Orbital magnit kvant son m_ℓ = 0, 1, 2, 3,…,ℓ
n ning berilgan qiymatida (1.5) formulada ifodalangan Shre­dinger tenglamasining bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan yechimlarining soni quyidagicha aniqlanadi:
(1.17)
4. To‘liq to‘lqin funksiyasi. Vodorod atomining qaralayotgan modeli uchun to‘liq to‘lqin tenglamasini hosil qilishda dastlab yuqorida hosil qilingan (1.9), (1.12), (1.14) tenglamalarning har birini tegishli chegarada har bir koordinata (r,,) uchun normallash kerak. Hosil qilingan ifodalar (1.7) tenglamadagi kabi ko‘paytiriladi. Agar hosil qilingan natijaviy to‘liq to‘lqin tenglamasi uning xususiy funksiyalarida yechilsa, u vaqtda bu yechimlarning har biri o‘zgaruv­chi amplituda bilan xarakterlanishini ko‘rish mumkin. Koordinata boshi atrofidagi fazo tugunli sirtlar bilan bo‘limlarga ajratiladi. Bunda har bir ikki qo‘shni bo‘limlarda tebranish amplitudasi faza bo‘yicha qarama-qarshi bo‘ladi. Tugunli sirtlar soni n–1 ga teng. Agar energiyaning xususiy qiymatlari kvant sonlarining aniq biror to‘plami uchun hisoblansa, hisoblangan qiymatlar faqat bosh kvant son n ga bog‘liqligini ko‘rish mumkin. Bu esa qaralayotgan soddalashtirilgan model uchun tizim aynishining ifodasidir. Masalani kvant mexanikasi asosida yechishda energiyaning diskret xususiy qiymatlarini hosil qilish uchun orbita radiusining har bir qiymatida elektronning to‘liq energiyasi E, uning potensial energiyasi U(r) dan kichik bo‘lishi kerak. Bunday holatlar bog‘langan holatlar, electron­lar esa bog‘langan elektronlar deyiladi. Agar to‘liq energiya potensial energiya U(r) dan katta bo‘lsa, elektron istalgan energiya qiymatiga ega bo‘lishi mumkin. Bunda elektron energiyasi kvantlanmaydi va u erkin bo‘ladi. Bog‘langan holatlar yoki bog‘langan elektronlar uchun energiyaning xususiy qiymatlari quyidagi formula orqali hisoblanadi:
(1.18)
(1.18) formula Bor nazariyasida hosil qilingan energiya formulasi bilan mos keladi.
Bor nazariyasida hosil qilib bo‘lmaydigan ko‘pgina boshqa natijalar kvant-mexanik tasavvurlar asosida hosil qilinadi. Jumladan, kvant mexanikasi energetik holatlar aynishi bilan bog‘liq bo‘lgan masalalarni yoki tabiatda mavjud bo‘lgan atomlar xossalari bilan to‘g‘ri keladigan atom modelini aniqlashga imkon berdi. 1.2-rasmda Kulon potensial chuqurligi va chuqurlikda bog‘langan elektronlar tizimiga tegishli bo‘lgan energetik sathlar sxematik ravishda keltiril­gan. Xuddi shunday rasmda energetik sathlar orasida bo‘ladigan ba’zi bir optik o‘tishlar ko‘rsatilgan. Bunday o‘tish­lar vodorod atomi spektrida­gi Balmer seriyasini hosil qiladi. Rasmda elektronning to‘liq energiyasi nolga yaqinlashishi bilan energetik sathlar zichlashishi tasvir­langan. Elektronning to‘liq energiyasi noldan katta bo‘lganda, ya’ni E>0 da erkin harakat qiladi, bunda energetik sathlar kvantlanmaydi. Erkin elektron energiyasi diskret bo‘lmagan tutash spektrni hosil qiladi.



1.2-rasm. Kulon potensial chuqurligi va chuqurlikda bog‘langan elektronlar tizimiga tegishli bo‘lgan energetik sathlar


Shunday qilib, vodorod atomi uchun Shredinger tenglamasining yechimi uchta kvant son n,ℓ,m_ℓ larga bog‘liq bo‘lib, quyidagicha ifodalanadi:
(1.19)