Vodorod atomining kvant mehanika nazariyasi

1.2. Bor postulatlari. Atom tuzilishining Bor nazariyasi
Klassik fizika qonunlari o‘z mohiyatiga ko‘ra, uzluksiz jarayon­larni ifodalashga qodirdir. Kimyoviy elementlar atomlari nurlanish spektridagi spektral chiziqlar­ning xarakteri atom ichidagi jarayonlar uzlukli ekanligini ko‘rsatadi. Buni birinchi bo‘lib Nils Bor tushundi va klassik fizika qonunlarini atom ichkarisidagi jarayonlarga tatbiq qilib bo‘lmasligini ko‘rsatdi.
Rezerfordning atom tuzilishi planetar modeli to‘g‘ri hisoblansa­da, lekin atomning energiya nurlashi jarayonini, atomlarning turg‘un­ligini tushuntirishda qiyinchiliklarga duch keldi. 1913-yilda Rezer­fordning atom tuzilishi modeli Nils Bor tomonidan mukammallashti­rildi va bu qiyinchiliklar bartaraf qilindi.
N.Bor Rezerford tajribalarida kuzatilgan, lekin klassik fizika tushuntira olmaydigan natijalarni, qonuniyatlarni tushuntirishda o‘zi­ning vodorod atomi tuzilishi modelini taklif qildi. Bor model vodorod atomi tuzilishining birinchi muvaffaqiyatli modeli bo‘lib, atom tuzilishi to‘g‘risidagi tasavvurlarning rivojlanishida muhim o‘rin tutdi. Bor modeli de-Broyl gipotezasining vujudga kelishida ham katta ahamiyatga ega bo‘ldi. Atom nurlanishi spektridagi qonuniyat­lar, atomdagi energetik sathlar birinchi marta Bor tomonidan tushuntirildi. Vodorod atomi tuzilishining Bor taklif qilgan modeli uning quyidagi postulatlarida asoslanadi:
1. Atom uzoq vaqt statsionar holatlarda bo‘la oladi. Atom statsionar holatlarda energiyaning E₁,E₂,E₃,...,E_n diskret qiymatlariga ega bo‘ladi. Atom statsionar holatlarda energiya nurlamaydi. Shuning uchun bunday holatlar statsionar holatlar deyiladi. Atomning statsio­nar holatlariga statsionar orbitalar mos keladi.
2. Atomda bo‘lishi mumkin bo‘lgan statsionar orbitalardan elektronning impuls momenti
, (n=1,2,3,...) (1.20)
shartni qanoatlantiradigan statsionar orbitalargina mavjud bo‘ladi. Bunday orbitalar ijozat etilgan statsionar orbitalar deyiladi. Atomdagi statsionar orbitalar kvantlangan bo‘lib, diskret energetik sathlarni hosil qiladi.
3. Elektron energiyasi E_i bo‘lgan orbitadan energiyasi E_f bo‘lgan (E_i>E_f) orbitaga o‘tganda atom energiya chiqaradi. Chiqarilgan energiya har ikki orbita energiyalari farqiga teng bo‘ladi, ya’ni:
(1.21)
Bu formuladan:
(1.22)
(1.21) formulada E_i – birinchi orbita energiyasi, E_f – ikkinchi orbita energiyasi,  – chiqarilgan energiya chastotasi. (1.21) munosabat atom energiya yutganda ham o‘rinli bo‘ladi. E_f >E_i bo‘lganda energiya yutiladi. Bunda atomga tushgan foton energiyasi atomni pastgi energetik holatdan yuqorigi energetik holatga o‘tkazadi. Masalan, agar elektron n=5 orbitadan n=4 bo‘lgan orbitaga o‘tsa, u vaqtda atom chastotasi (1.3-rasm)

bo‘lgan energiya chiqaradi (chiqarish spektri hosil bo‘ladi). Agar atomga energiyasi h=E₅–E₄ bo‘lgan foton tushsa, bu foton atomda yutiladi va elektron bu foton energiyasi ta’sirida n=4 orbitadan n=5 orbitaga o‘tadi (yutilish spektri hosil bo‘ladi). Demak, atom energiyasi katta bo‘lgan holatdan energiyasi kichik bo‘lgan holatga o‘tsa energiya chiqaradi. Agar atom energiyasi kichik bo‘lgan holatdan energiyasi katta bo‘lgan holatga o‘tsa energiya yutadi. Buning uchun atomga tashqaridan energiya berish kerak. (1.22) ifodaga esa Bor chastotalari qoidasi deyiladi. h – Plank doimiyligi bo‘lib, uning son qiymati quyidagicha: h=6,62∙10^–34 J∙s.

yoki
J∙s
Demak, atomda elektronlar ixtiyoriy qiymatdagi energiyaga ega bo‘lmasdan, balki energiyaning aniq qiy­matlarigagina ega bo‘­ladi, bu energiyalar qiymatlari diskret spektrni hosil qiladi. Yuqorida keltirilgan postulatlar asosida vodorod atomining birinchi muvaffaqiyatli modeli tuzildi. Bu modelda hisoblashlar doiraviy orbitalar uchun bajariladi.



1.3-rasm. Elektronlarning energetik sathlardagi harakati


Bor modeli atom statsionar holatda nima uchun energiya nurla­masligini tushuntira olmaydi. Bundan tashqari, elektron yadro atrofi­da doiraviy orbita bo‘ylab harakatlanishini tajribada ko‘rsatish mum­kin emas. Shuning uchun Bor modelining tadbig‘ida ma’lum chek­lashlar mavjud. Keyinchalik spektroskopiyada qilinayotgan yangi kashfiyotlarga Bor modeli javob bera olmadi. Bu hol yangi fizikaviy nazariyani ishlab chiqishni talab qilar edi. Bor modeli o‘rniga hozirgi vaqtda Geyzenberg, Shredinger, Diraklar tomonidan yaratilgan atom tuzilishining kvant mexanik modeli kelgan bo‘lsada, Bor modeli statsionar holatlar tushunchalarining kiritilishida ko‘rgazmali model sifatida foydalanildi. Bor modelini keyingi o‘n yilda Zommerfeld, Vilson va boshqalar to‘ldirdilar, aniqliklar kiritdilar. Atomda diskret energetik sathlarning mavjudligi 1914-yilda Frank va Gers tomoni­dan simob atomlari bilan o‘tkazilgan tajribada tasdiqlandi.
Stasionar holatlar energiyasi kvantlash qoidasi bilan aniqlanadi. Agar elektronlarning doiraviy orbitalari qarab chiqilsa, Borning ikkinchi postulatiga asosan, atomda elektronning impuls momenti Plank doimiyligiga karrali bo‘lgan shartni qanoatlantiradigan orbita­largina mavjud bo‘la oladi, ya’ni
(1.23)
Bunda n – butun son bo‘lib, kvant soni deyiladi. (1.23) formula elektronning impuls momenti – L kvantlanganligini, uning faqat 1ħ,2ħ,3ħ,... bo‘lgan diskret qiymatlarnigina qabul qilishi mumkin­ligini ko‘rsatadi. Bunda ħ impuls momentining birligi qilib qabul qilinadi. (1.23) formula doiraviy orbitalarni kvantlash qoidasidir. Bu qoida yordamida vodorod atomining doiraviy statsionar orbitalar o‘lchamlarini va ularga tegishli energiyalarni hisoblash mumkin. Yadro massasi elektron massasidan 2000 marta katta bo‘lganligi uchun yadro qo‘zg‘almas deb qaraladi. Elektron esa yadro atrofida radiusi r bo‘lgan aylana bo‘ylab harakatlanadi. Yadro koordinatalar tizimi boshiga joylashtirilgan bo‘lsin. Yadrodan cheksiz uzoqdagi masofada elektronning potensial ener­giyasi nolga teng deb hisoblanadi. Bu vaqtda zaryadi +Ze bo‘lgan yadrodan r masofadagi elektronning to‘liq energiyasi quyidagicha ifodalanadi:
yoki (1.24)
Bu formulada:
– elektronning yadro bilan o‘zaro tortishuv potensial energiyasi, – elektronning kinetik energiyasi, m – elektronning massasi,  – uning tezligi, e – elektronning zaryadi, ₀ – vakuum uchun dielektrik doimiylik.
Elektron yadro atrofida aylanma orbitada harakatlanadi deb hisoblanadi. U holda yadro elektr maydonidagi elektronga ta’sir etadigan Kulon tortishish kuchi markazga intilma kuchga teng bo‘ladi, ya’ni
(1.25)
(1.25) dan m² qiymatini topib, (1.24) ifodaga qo‘yilganda, elektron­ning to‘liq energiyasi quyidagicha ifodalanadi:
(1.26)
(1.25) ifodaning har ikkala tomonlarini mr³ ga ko‘paytirib, quyida­gini hosil qilamiz:
(1.27)
Bu formulada o‘ng tomondagi ifoda impuls momenti kvadratidir. Shuning uchun (1.27) ni quyidagicha yozish mumkin:
(1.28)
(1.26) va (1.28) tenglamalarining tegishli o‘ng va chap tomonlarini ko‘paytirib, zaryadi +Ze bo‘lgan yadro atrofida doiraviy orbita bo‘ylab harakat qilayotgan elektronning to‘liq energiyasini aniqlash mumkin, ya’ni:
(1.29)
Bu formula vodorod atomida elektronning statsionar holatlari­ning energiya sathini ifodalaydi. (1.29) formuladan ko‘rinadiki, elektronning to‘liq energiyasi n kvant soniga bog‘liq. n – elektron orbitalari tartib raqamini bildiradi va n=1,2,3,... qiymatlarni qabul qiladi. (1.29) formula atom chiqaradigan yoki yutadigan energiyasini ifodalaydi va uning kvantlanganligini ko‘rsatadi. n=1,2,3,... bo‘lgan­dagi energiyaning mumkin bo‘lgan qiymatlari (1.29) formula orqali hisoblanadi. n da energetik sathlar o‘zining E_=0 bo‘lgan chegaraviy qiymatiga tomon zichlashadi. Atomning n=1 bo‘lgan eng kichik energiyali holati uning asosiy holati deyiladi. Atom asosiy holatda uzoq vaqt bo‘lishi mumkin. Atomning n=2,3,4,... bo‘lgan holatlari (n>1) uning uyg‘ongan holatlari deyiladi. Bu holatlarning har birida atomning energiyasi uning asosiy holati energiyasidan katta bo‘ladi. (1.29) formuladagi manfiy ishora atom tizimining bog‘langanligini va energiyaning kvantlanganligini ko‘rsatadi.
(1.29) formulaga elektron massasi va zaryadi son qiymatlarini (m=9,11∙10^–31kg, e=1,6∙10^–19Kl) qo‘yib hisoblanganda:
(1.29a)
formula hosil bo‘ladi. (1.29a) formula orqali n ning turli qiymatlariga to‘g‘ri keladigan energiya hisoblanganda energiyaning quyidagi qiymatlari hosil bo‘ladi: