Упругости для неоднородных анизотропных тел 3-bob bir hil bo'lmagan anizotrop jismlar uchun elastiklik nazariyasining variatsion tamoyillari

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАния 53

ные деформации е и хав поверхности S перемещениями и, равенствами е — 2 (гаир + гвиа),

(v;fy — ьвуи*з),

где — поверхностная ковариантная производная от поверхностного вектора (см. Приложение 2, а также гл. 4). В случае, когда условия (9) охватывают несколько различных связных частей поверхности S, необходимо учитывать уравнения, согласующие взаимные смещения различных связных частей:
— dx ⁱ (В) — (А),
( 1.12) О . [е + (Го) Х (тв
где и•, о, — перемещения и углы поворота в точках А и В, принадлежащих различным связным участкам поверхности S. Уравнения (12) могут быть получены с помощью формул Чезаро (см., например, [3.3]).
1.2. Все функционалы обозначены буквой Э с индексом, которым, как правило, служит первая буква названия; например, Эл — функционал Лагранжа, Эк — функционал Кастильяно, Э*, Э — полные функционалы. Наиболее важные, с нашей точки зрения, функционалы и их дополнительные и естественные условия размещены в табл. 3.1—3.5. Между их аргументами установлено соответствие

которое приводит к тому, что функционалы Лагранжа (табл. 3.1) и Кастильяно (табл. 3.2), полные функционалы лагранжевой серии (табл. 3.3) и кастильяновой серии (табл. 3.4) с одинаковыми номерами имеют соответствующие наборы независимых пере-
54 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
менных, т. е. соответствующие пространства состояний. При этом дополнительные условия и условия стационарности также оказываются соотнесенными друг с другом: геометрические уравнения со статическими, физические в прямой форме с физическими в обратной форме.

S 2. Различные варианты принципов Лагранжа и Кастильяно — исходные пункты для преобразования вариационных принципов

Вариационные принципы Лагранжа и Кастильяно изучены в литературе с точки зрения как стационарности, так и экстремальности соответствующих функционалов. Поэтому их целесообразно использовать как исходные пункты для построения и исследования системы полных и частных вариационных функционалов теории упругости. В соответствии с S 2 гл. 2 здесь рассмотрены различные варианты принципов Лагранжа и Кастильяно. Экстремальные свойства соответствующих им функционалов будут использованы
2.1. Различные варианты функционала Лагранжа (табл. 3.1).
а) Функционал Лагранжа эл] (и) в перемещениях, наиболее распространенный в литературе, рассматривается здесь как частный функционал в пространстве перемещений при дополнительных условиях (1.5).
Данный функционал может быть преобразован путем расширения пространства состояний за счет замены переменных е(и) е, и искусственного введения соответствующих дополнительных условий в другие разновидмости, имеющие различные особенности. Некоторые из полученных таким путем вариантов функционала Лагранжа (наиболее интересные с точки зрения авторов) представлены в табл. 3.1.
Как видно из табл. 3.1, условия стационарности различных вариантов функционала Лагранжа — уравпения равновесия, но в различной форме, выражен-

принципы И
ные через компоненты того пространства состояний, в котором сформулирован данный функционал.
б) Функционал Лагранжа ЭЛ2(и, е) в перемещениях и Деформациях. Пространство перемещений расширено за счет введения тензора деформаций по формуле (1.1) и дополнительного условия е—
+ uV) 0. Искусственное расширение «пространства состояний сделано с целью увеличения возможностей для преобразований функционалов. В частности, эл2 (и, е) может быть преобразован в функционалы Ху— Вашицу Эп2(и, е, о) (табл. 3.3) и Кастильяно Экз (о) (табл. 3.2), которые нельзя получить из Эл (и). в) Функционал Лагранжа Эл.з (е) в Деформациях. В этой формулировке ни функционал, ни дополнительные условия не содержат варьируемых перемещений (а значит, и условия стационарности включают только деформации). Функционал Элз (е) в усеченном пространстве состояний е получим, исключая перемещения из эл2 (и, е) и из дополнительных условий к нему.
Исключение перемещений из геометрических уравнений в объеме (1.1) и на поверхности (1.5) рассмотрено в S 1: зависимости Коши (1.1) переходят в уравнения неразрывности деформаций (1.8), а граничные условия в перемещениях (1.5)— в деформационные граничные условия (1.9).
В табл. 3.1 приведен наиболее простой частный случай, когда на части Sa поверхности тела S заданы все компоненты вектора перемещений, а на остальной части Sf — все компоненты вектора усилий, причем — связное множество (т. е. состоит из одного целого куска любой формы). Если граничные условия (1.5) охватывают несколько связных участков поверхности S, то в список дополнительных условий должны быть включены уравнения вида (1.12).
Рассмотрим преобразование ЭЛ2 в Элз в указанном частном случае. В функционале ЭЛ2 перемещения содержатся в слагаемом
F. u dV (2.1)
66 BAPHAUHOHHb1E rlPHHUHr1b1 TEOPHH Y11PYfOCTH (r.n. 3
06%eMHoro BHTerpa.na H B flOBePXHOCTHOM BHTerpaJ1e, KOTOPNh B paccMa•rpHBaeM0M qaCTHOM c.nyqae rpaHHt1HHX YCJ10BHi S=Su + Sr
HMeeT BHA
• u dSf. (2.2)
^th06L1 n36aBHTbCfl 0T nepeMe1-ueHHt1 B c.naraeM0M (l), npemcTa-
BHM BeKTOP F B 4)0PMe
V .0⁰, (2.3)
rne TeH30p MO>KHO paCCMaTPHBaTb KaK qacTHoe peweHHe ypaBHeHHfl paBHOBeCHH (1.6), KOTopoe 06bNFIO .nerK0 HailTH. Vici10J1b3Yfl (3). IIDe06pagyeM F •u:
. — • (co • u ) 00 • • ( (2.4)
B CHJIY CHMMeTPHH TeH30pa HanpflHCFIHä cnpaBeAJIHB0 paBeHCTBO
TaK Bblpa2Kenme (4) MO>KHO npeACTaBHTb B BHAe
(2.5)
flOACTaBHB (5) B (1) H npe06pa30BaB HHTerpan 0T nepBoro c.naraeMoro no (>0PMYJ1e OctporpamcKoro (CM. flpHJ10>KeHHe 2), 110J1yqHM
F. u dV—
u n dS. (2.6)
flOBepy.HOCTHHfi HHTerpaJ1 B npe06pa30BaHH0M d)YHKUHOHaJ1e
3 J12 HMeeT BHA
u •0⁰ • ndSu — u • (t* + • n) dSf.
Tax KaK Ha Su AOJI>KHO BblffOJIHflTbCH rpaHH4Hoe ycJ10Bl{e u — —O TO B rtepB0M HHTerpane MO>KHO gaMeHHTb U Ha u* H neper1HcaTb nocJ1eÄHee BHpaxeHHe cneAY}0111HM 06pa30M:
u* n dSu — u • + . n) dSf.
B nepBoe cJ1araewroe BXOÅflT H3BeCTHb1e, HeBapbHpyeMble Be.flH4HHb1', OHO He HY>KAaeTCfl B nanbHefi111vrx rrpe06pa30BaHHflx. HT06b1 H36aBHTbCR 0T nepeMe1.ueHHfi BO BTOPOM cy^traraeM0M, BblPa3HM BeKTOP Ha-
npqxeHHfi + 0⁰ •n gepe3 KOMf10HeHTH TeH30pa HanpH>KeHHfi (PI/ H HeKOTOPb1e (a, l, 2) OT HX HOP. ManbHb1X flPOH3BOAHb1X B CHCTeMe KOOPAHHaT, CBfl3aHilOfi C 110Bepx•
И
ностью Sf (см. гл. 4, S 1.1). для этого предположим, что в окрестности Sf найден тензор удовлетворяющий уравнениям
(2.8)
т. е. что известно частное решение системы дифференциальных уравнений с частными производными (8) (способы нахождения частных решений здесь не обсуждаются). Для дальнейших преобразоваиий используем равенство
• - (^Р т ^ик) (Ий) (2.9)
В системе координат, связанной с поверхностью Sf (ез = п— вектор нормали к Sf, = = 0, пз = 1), второе слагаемое имеет вид
(2.10)
где — дискриминантный тензор.
Подставим (8) ^т с учетом (9) и (10) в (7) и поверхностные интегралы от производных вида VE [. . ] в контурные по формуле Грина (см. Приложение 2); получим
и • • п) dSf ss еаРзеу6з (ЧИИ)
— (Пугач) —(VyVBU0) dSf и* (Р Х (Р*) dCuf + + еауз (губ) + (Руић) tB dCuf.
+ п вис) на и

— VaVpilt на и подставляя их в ЭЛ2 (и, е), перейдем к функционалу Эл.з (е) (табл. 3.1).
Заметим, что хотя в принципе преобразование ЭЛ2 в Элз
всегда возмо>кно, его практическое выполнение при конкретных нагрузках F / * может натолкнуться на значительные трудности, связанные с отысканием частного решения системы уравне-
68
ний (8). Такое частное решенне легко найтн, например, когда + 00. п 0: в этом случае можно принять 0.
В вычислительном отношении функционалы и Элз (е) имеют несколько различные области применения с точки зрения учета граничных условий. Функционал Элз(е) удобнее применять в случае деформационных граничных условий.
Функционал Элз(е) легко преобразуется в полНЬ1й функционал Эпз (е, (Р) и функционал кастильяно
(ф) в функциях напряжений, которые можно получить и из эл2 или эл4, но окольным путем.
г) Функционал Лагранжа Эл4(и, е, о) в основном пространстве состояний (и, е, о) получается из (и, е) за счет расширения пространства состояний. Вводятся новые неизвестные — компоненты тензора напряжений о и соответствующие дополнительные условия—закон Гука (1.2). Эта форма функционала удобна для дальнейших преобразований.
Функционалы Эл, эл2 и ..эл4 имеют отличия по форме и дополнительным условиям к ним. Различия в вычислительном аспекте между ними несущественны. Однако разнообразие форм исходного пункта преобразований приводит к важным особенностям полученных из них функционалов не только по форме, но и в вычислительных, и, в частности, экстремальных свойствах (см. SS З, 5 и 6).
д) Функционалы Лагранжа с неполными полями и, е, о. Функционалы .Эл, эл4 выражены через все компоненты используемых тензоров и представлены в тензорной форме. Вводя в качестве новых переменных некоторые компоненты тензоров деформаций и напряжений или исключая отдельные компоненты вектора перемещений из функционала эл2 или Элз и дополнительных условий, в некоторых системах координат можно получить формулировки принципа Лагранжа в пространствах состояний, содержащих лишь часть компонентов полей напряжений, деформаций и перемещений. Это возможно, например, в декартовой координатной системе.
В табл. 3.1 приведено лишь два примера функционалов такого рода —Эл5 (щ, езд и эл6 (щ, eai), из ко,
Н
торых могут быть получены полные и частные функционалы с неполными полями.
2.2. Различные варианты принципа Кастильяно (табл. 3.2).
а) Функционал Кастильяно в напряжениях Экз (о) получен из функционала Лагранжа эл) (и, е) по следующей схеме (преобразование Фридрихса, см. гл. 2, .s 2.4):
множители

эл2 (и, е) Лагранжа Эп2 (и, е, о) — Экз (о), (2.12)
где Эп2 (и, е, о)— полный функционал Ху — Вашицу (табл. 3.3). Это позволяет утверждать, что функцноналы Э т (И, е) и Экз(о) имеют одно и то же стационарное значение.
При преобразовании Фридрихса (12) дополнительные условия (геометрические уравнения) и условия стационарности (статические уравнения) функционала Лагранжа переходят соответственно в условия стационарности и дополнительные условия функционала Кастильяно. См. также S 3.2г, в котором схема (12) дополнена обратным преобразованием Фридрихса, и S 3.2в, где дана аналогичная схема для функционалов Лагранжа в деформациях и Кастильяно в функциях напряжений.
Другие разновидности функционала Кастильяно могут быть получены из Экз(о) с помощью общего решения (1.7) уравнения равновесия (1.6) и замены переменных либо преобразованием Фридрихса из функционалов Лагранжа (табл. 3.1). Как видно из табл. 3.2, условия стационарности различных вариантов функционала Кастильяно — уравнения неразрывности в объеме и деформационные граничные условия на поверхности. В табл. 3.2 приведены условия стационарности лишь для простого случая, когда компоненты перемещений заданы на связной части поверхности S. В гл. 5 показано, как из этих функционалов извлечь условня стационарности в некоторых более сложных случаях.
б) Функционал Кастильяно о) в напряжениях и функциях напряжений. Этот функционал полу-

(ГЛ, З

чен из Экз (о) путем замены дополнительных условий в форме уравнений равновесия (1.6) на эквивалентные им зависимости между напряжениями и функциями напряжений (1.7), в связи с чем эк2 зависит не только от б, но и от ф. Поверхностный интеграл в Экз путем замены на (0⁰ + Х ф Х Р) •n и применения формулы Стокса записан в функциях напряжений (см. аналогичные преобразования в S 2.lB), с тем чтобы функционал ЭК2(ф, о) имел вид, аналогичный функционалу эл2 (и, е) (тензор функций иа• пряжений соответствует вектору перемещений и, а тензор напряжений б— тензору деформаций е, см. S 1) .
Функционал эк2 б) связан преобразоваиием Фридрихса с функционалом Лагранжа Элз (е).
Функционал эк2 является промежуточной ступенью при преобразовании Экз (о) в эк! (О. В то же время эк2 имеет ббльшие возможности, чем эк! , как исходный пункт для преобразований, подобно аналогичному ему функционалу Лагранжа эл2 (и, е) . Из эк2 (w,o) можно получить полный функционал Э*пэ (ср, о, е) и функционал Лагранжа Эл (е).
в) Функционал Кастильяно Эм (ф) в функциях напряжений получен из путем исключения тензора напряжений б с помощью (1.7) . Дополнительное условие (1.6) в объеме V оказывается выполненным, остается лишь граничное условие для (Р (1.10).
Переход от Экз к эк1 означает учет дополнительного условия (1.6) с помощью общего решения (1.7).
Уравнение равновесия (1.6) имеет и другие общие решения [3.3, 3.9], которые могут служить основой для других разновидностей функционала Кастильяно в функциях напряжений. В частности, ряд разновидностей общего решения (1.7) можно получить, полагая некоторые компоненты тензора функций напряжений равными нулю [3.3]. В декартовой системе координат существует пять, а в криволинейной системе больше различных общих решений, в которых напряжения выражены через три компонента
И
тензора W. Среди них известные решения Максвелла
(922, 33 + (Рзз, 22; ⁶22 (Рзз, п + (Гн, аз;
22 + 922, н; ⁶23 ¯ 23; (2.13)
⁶31 922, в; ⁶ 12 = — (Рзз, 12 и Морера

Оп = 2(P23, 23; 622 = — 2(P13, 13; ^623 = (923, + 913, 2 + (912,	^633	12;
= ((Г23. — + (РЕ. з), 2; = ((923, + — 912. З), З•			(2.14)

Используя общее решение (1.7) , легко доказать, что условиями стационарности функционала Кастильяно являются уравнения неразрывности (1.8) (в отличие от длинного доказательства Саусвелла, приведенного в [3,61).
Действительно, вариационное уравнение для функционала Кастильяно эк! (О (табл. 3,2) имеет вид ДЭК! «г) SSS [V Х е (т) Х у . . 54 dV +
—е1*6)” -—с^аус^В6 [х 5 (е) х*
(2.15)
Отсюда следуют уравнения неразрывности (1.8) Кроме того, из вариационного уравнения (15) следуют деформационные граничные условия (1.11).
Саусвелл первоначально дал вывод уравнений неразрывности, основанный на применении общих решений Максвелла и Морера, т. е. фактически использовал тензор функций напряжений W. По-видимому, появление нового длинного и запутанного доказательства объясняется тем, что этот вывод его не удовлетворил по следующей причине.
Равенство (1.8) содержит шесть уравнений. При использовании общих решений (13) и (14), в которых участвуют по три компонента тензора функций напряжений, т. е. по три варьируемых функции, вариационное уравнение Кастильяно принимает вид
јгл. З
соответственно (16) и (17):
6ЭК1 ((Pll' Ф22' (Рзз)[(^ез.з, 22 + ^е22. 33 — аз, 23) -F
+ езз. {1 — аз, 13) ⁶922 +
+ (ед + 22 — ^e 12, 12) ⁶933] ^dV
(2.16)
где eu (Qll, Фзз); 6ЭК1 (923' 913' (P12) =
^2еп. 23 + аз. I + аз, 2 + ^e 12, з), I] ⁶923 +
+ 2е22, 13 + (аз, — аз, 2 + еш, з), 2] -F
+ [ ¯2езз, 12 + (аз, I + аз. 2 — ^е ш, з). з] ⁶912} -F
dS=O, (2.17)
где etf (923, 912).
Равенства (16) и (17) показывают, что при использовании каждого из общих решений Максвелла или Морера условиями стационарности функционала кастильяно являются различные системы из трех уравнений неразрывности и соответствующих деформационных граничных условий, Из функционала ..9kl (ф) (табл. 3.2), в котором используется общее решение (1.7) с шестью функциями напряжений (оно имеет вид «Максвелл -F Морера»), следует шесть уравнений неразрывности с соот ветствующими граничными условиями [5.3]. Использование других общих решений приводит к несоответствию между вариационной и дифференциальной формулировками задачи [5.3]; этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовании.
г) Функционал кастильяно .эк4 (ф, о, е) в квазиосновном пространстве состояний (ф, б, е) получен из путем расширения пространства (9,0) за счет искусственного введения новой переменной — тензора деформаций е— и дополнительного условия (1.3) (закон Гука в обратной форме). Он соответ• ствует функционалу Лагранжа Эл4(и, е, о) и служит для преобразований и построения новых вариационных принципов, в частности полного функционала Э*п4а о, е) (табл. 3.4).
д) Функционалы Кастильяно с неполными полями ф, о, е. Функционалы Экь эк4 выражены через все компоненты используемых тензоров w,o, е и представлены в тензорной форме. В декартовой и некоторых других системах координат существуют разновидности функционала Кастильяно, в которых аргументами являются не все, а лишь часть компонентов тензоров функций напряжений, напряжений и деформаций. Такие разновидности можно вывести, например, из Экз (о) (табл. 3.2), вводя некоторые компоненты функций напряжений в качестве параметров общего решения части уравнений равновесия, или из эк! (О, вводя в качестве новых переменных некоторые компоненты напряжений и деформаций и исключая часть компонентов функций напряжений.
В табл. 3.2 приведено лишь два примера функцио• налов такого• рода, ..9k5(Qtj, oⁱ³ ) и Экб (фи, о^п ), из ко• торых могут быть получены полные функционалы с неполными полями.
S З. Полные функционалы
В соответствии с теорией преобразования вариационных проблем (см. гл. 2, S 2), различные варианты исходной вариационной задачи приводят к различным полным функционалам и соответствующим общим вариационным принципам в различных пространствах состояний.
Из функционалов Эм (табл. 3.1) построены пол, ные функционалы (табл. 3.3), которые мы будем называть лагранжевой серией полных функционалов. Соответственно кастильянова серия полных функционалов (табл. 3.4) получена из (табл. 3.2). Пол. ные функционалы имеют, как правило, те же номера, что и частные, из которых они получены.
Каждый полный функционал позволяет сформулнровать вариационную задачу без каких-либо допол• нительных условий. Здесь независимо варьируются
все параметры, указанные в скобках: например, у Эп2(и, е, о) независимо варьируются поля и, е и о.
Между многими полными функционалами может быть установлена взаимосвязь посредством преобразований одного пространства состояний в другое: усе• ченное, расширенное или эквивалентное (см. гл. 2, 2.2).
Из полных функционалов получаются частные, в том числе функционалы Лагранжа (табл. 3.1) и Кастильяно (табл. 3.2) в различной форме.
3.1. Лагранжева серия полных функционалов (табл. 3.3).
а) Полный функционал Эн: (и, f) в перемещениях и поверхностных реактивных напряжениях. Построен путем внесения дополнительных условий (граничных условий в перемещениях) в функционал Эл (и) (табл. 3.1) с множителями Лагранжа f. Величины f являются, как показывают условия стационарности, компонентами напряжений, соответствующими заданным компонентам перемещений (и*)” т. е. реакциями.
Условия стационарности ..Эп1 (и, f)— уравнения равновесия, статические и геометрические граничные условия в перемещениях плюс уравнения для вычисления реакций f по известным перемещениям.
б) Полный функционал в перемещениях (и) . Если выражения для реакций через перемещения подставить в Эп1 (u,f) (т. е., с точки зрения теории преобразования вариационных проблем, наложить некоторые из условий стационарности в качестве дополнительных условий и с их помощью исключить f), то Эш перейдет в полный функционал в перемещениях Эта (и), который обсуждался Д. Рюдигером [3.l Ц, а для разрывных полей перемещений — В. Прагером [0.12] (см. также S 6).
в) Полный функционал Ху— Вашицу Эп2 (и, е, о)
[0.17, 0.18] в основном пространстве состояний получен из Эт (и, е) с помощью множителей Лагранжа о при геометрических соотношениях. Как видно из условий стационарности 6—е. т = 0 (физических соотношений), множители Лагранжа являются напряжениями.
Условия стационарности функционала Ху — Вашицу имеют классическую, наиболее употребительную в теории упругости форму: геометрические соотношения ( l. l ), статические уравнения (1.6) и физические уравнения (1.2) в объеме V; геометрические (1.5) и статические (1.4) граничные условия на поверхности S.
Исключение множителей Лагранжа о из функционала Ху— Вашицу в соответствии с S 2.2г гл. 2 приводит к полному функционалу в пространстве (и, е) , который оказывается одной из форм функционала Рейсснера [0.21 :