|
-ssst
-ss s s (е • • а) n dS. (3.1)
Можно исключить из Эп2(и, е, о) деформации е (в соответствии с S 2.2 в гл. 2) и прийти к другой форме функционала Рейсснера Э*пз (о, и) (табл. 3.4) в пространстве (о, и).
г) Полный функционал Эпз (е, (Р) в Деформациях и функциях напряжений получен из Элз(е) (табл. 3.1) с множителями Лагранжа W.
Условия стационарности функционала Эпз— геометрические уравнения в деформациях в объеме и на поверхности и зависимости между деформациями и функциями напряжений, которые одновременно играют роль статических и физических уравнений. Отсюда следует, что множители Лагранжа совпадают с компонентами тензора функций напряжений в форме Финци— Блоха — Круткова (см. S 1 ) .
Заметим, что использование (е, W) можно рассматривать как инструмент для установления зависимости между напряжениями н функциями напряжений, т. е. для получения общего решения уравнений равновесия. Иными словами, преобразование функционала Лагранжа Элз (е) в Эпз(е, W) фактически привело к преобразованию условий стационарности Элз
З И. П. Абовский и др.
(статических уравнений) к форме, являющейся их общим решением. Этот пример раскрывает то богатство возможностей, которое заключено в вариационных формулировках и их преобразованиях.
д) Полный функционал Эп4 (и, е, о, Х, В) в расширенном основном пространстве состояний получается из эл4 (и, е, о) (табл. 3.1) с помощью множителей Лагранжа и д. Как видно из условий стационарности, имеет смысл —е, а
Функционал Эп4(и, е, является промежуточным звеном преобразования Эш (и, е, о) в Эп4а (и, е, о). е) полный функционал Эп4а (и, е, о) в симметризованном основном пространстве состояний [0.ll получен из Эп4 путем исключения множителей Лагранжа и в соответствии с S 2.2г гл. 2.
Функционал Эп4а (и, е, о)— линейный (неоднородный) относительно каждого из параметров и, е, о при фиксированных остальных. Отсюда следует его особенность, заключающаяся в том, что каждое условие стационарности содержит два параметра и не содер• жит третий, по которому варьировался функционал (см. схему на рис. 3.1).
Рис. 3.1. Симметричный характер условий стационарности полного функционала Эма (табл. 3.3).
Линейное преобразование пространства состояний (и, е, о) в (и“, е', 0') по формулам
переводит функционал Эп2(и, е, о) в Эп4а (и“, е“, Обратиое преобразование определяется формулами и и е'—е, 0' 20 — е • • а.
По свойствам, связанным со стационарностью, функционалы Эп2 и Эп4а эквивалентны, но имеют различные экстремальные свойства (см. S 5) .
ж) Полные функционалы с неполными полями перемещений, Деформаций, напряжений и функций напряжений могут быть построены с помощью множителей Лагранжа из соответствующих разновидностей функционала Лагранжа в декартовой и некоторых других системах координат. В табл. 3.3 представлено лишь два таких функционала, Эп5 (щ, e3i, о , р) и Эпб eai' б полученных из эл5 (щ, ем) и Элб (щ, еа[) (табл. 3.1).
Условия стационарности этих функционалов — уравнения смешанного метода в теории упругости [3.2] ,
3.2. Кастильянова серия полных функционалов (табл. 3.4).
а) Полный функционал (ср, еав, хив в функ-
циях напряжений и Деформациях поверхности тела получен из эк1 (9) (табл. 3.2) путем внесения в функционал дополнительных условий (статических граничных условий в функциях напряжений) с множителями Лагранжа. Множители Лагранжа при(срав —срав) целесообразно записать в виде сау сР6хУД, а при — в виде еуо, с тем чтобы оба поверхностных интеграла в имели одинаковую форму.
Условия стационарности — уравнения неразрывности и деформационные граничные условия и статические граничные условия в функциях напряжений, а также равенства, раскрывающие смысл множителей Лагранжа: выражение незаданных деформаций поверхности S через функции напряжений.
б) Полный функционал (О в функциях напряжений получен из функционала Э*п1 путем исключения множителей Лагранжа едв, хар в соответствии С S 2.2Г гл. 2. Функционал Э*п1а (ср) — аналог полного функционала в перемещениях Эп1а (и), см. S 3.16.
в) 17олный функционал Э*пэ (Т, о, е) в квазиосновном пространстве состояний получен из эк2 о) пу-
Do'stlaringiz bilan baham: |
