Упругости для неоднородных анизотропных тел 3-bob bir hil bo'lmagan anizotrop jismlar uchun elastiklik nazariyasining variatsion tamoyillari

Гл а ва З

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ
АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
3-bob
BIR HIL BO'LMAGAN ANIZOTROP JISMLAR UCHUN ELASTIKLIK NAZARIYASINING VARIATSION TAMOYILLARI

В этой главе рассматриваются полные и частные функционалы, участвующие в формулировке вариационных принципов трехмерной теории упругости. Соответствующие общие и частные вариационные принципы в различных пространствах состояний содержатся в обобщенных формулировках, приведенных в гл. 2, S 1, и могут быть получены путем конкретизации параметров пространства состояний и дополнительных условий (если они имеются). Функционалы, рассмотренные в данной главе, помещены в таблицах 3.1—3.13 в конце книги.

S 1. Вводные замечания
1.1. Рассматриваемое неоднородное анизотропное упругое те.ло занимает объем V, ограниченный поверхностью S с внешней нормалью п. Всюду в объеме V задан вектор объемных сил F, а на поверхности S заданы некоторые компоненты вектора по• верхностных сил (напряжений) f* и дополнительные компоненты вектора перемещений и*. Будем различать статические и геометрические граничные условия, смотря по тому, будут ли они касатъся поверхностных сил или перемещений. Краткие сведения и пояснения по используемой тензорной форме записи уравнений и функционалов см. в Приложении 2.
Полное решение краевой задачи теории упругости включает построение трех взаимосвязанных полей. Поле Деформаций е представляет собой симметричную часть тензорного поля градиентов перемещений и

2
связано с полем напряжений о законом Гука в прямой (l.2) или обратной (1 .З) форме

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 5]

Поля перемешеннй н напряженнй подчнняются статическим (4) и геометрическим (5) граничным условиям
О ,
О,
где штрих н двойной штрнх соответственно показывают, что равенство относи только к заданным комполентам поверхностных снл и перемещений, так что скалярное произведение равно нулю.
Выражения означают, что скалярное умножение ограничено теми компонентами поверхностных сил или перемещений, которые входят в статические или геометрические граничные условия соответственно.
Поле напряжений должно удовлетворять уравнениям равновесия

Уравнения равновесия (6) имеют общее решение о — 0⁰ + V Х Х ^Г ,
где — частное решение неоднородного уравнения, а — произвольный симметричный двухвалентный тензор (тензор функций напряжений) с шестью независимыми компонентами [3.10, 3.3,
3.5]. Существуют другие разновидности общего решения (см. S 2.2в).
Зависимости Коши (1) между перемещениями и деформациями являются общим решением уравнений совместности Дефор-
жаииЙ
vxexv—o.
Уравнения (1) и (8) эквивалентны в том смысле, что из существования для данного е вектора и такого, что выполняется (l), следует справедливость (8), а (8) влечет за собой существованне вектора и такого, что выполняется (1). Точно так же зависимости (7) и (6) эквивалентны * ) .
Геометрические граничные условия (5) могут быть заданы в дифференциальной форме— в виде деформационных граничных условий [0.3, 3.8], а статические уравнения на поверхности (4)— в интегральной форме, в функциях напряжений. В этом случае могут быть заданы некоторые компоненты тензоров тангенциаль-
н.ой и изгибной Деформаций поверхности S и дополнительные компоненты тензора функций напряжений.

* ) Строго говоря, утверждение об эквивалентности (l) и (8) справедливо, когда функция и трижды непрерывно дифференцируема, в противном случае уравнение неразрывности (8) усложняется.
62 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Деформационные граничные условия имеют вид
¯ ^еав)' ^хав ( ^е) — х
где е — заданные компоненты тангенциальных и из гибных деформаций поверхности S в системе координат, нормально связанных с этой поверхностью (см. S 7); здесь х (е) — Гзеар а зр—г е
Деформации е ар' х ар(е) поверхности S упругого тела выра-
жаются через ее перемещения Ии, из точно так же, как деформации е р базисной поверхности оболочки (см. гл. 4, S 1) — ав' ар через ее перемещения Ии, ш. Это нетрудно проверить, если выразить в е (и), х (е) трехмерные ковариантные производные
ар ар через поверхностные.
Деформации еар, хав следует задавать так, чтобы выполня-
лись условия неразрывности поверхности, аналогичные уравнениям неразрывности для оболочек.
Уравнения (9) являются условиями стационарности функционала Кастильяно; выражения для е ар' х ав возникают также при выводе функционала Лагранжа в форме Эл,з (е) [0.3] (см. SS 2.2
Статические граничные условия в функциях напряжений имеют вид
(фав ¯ О, (тр^уб
где — заданные компоненты тензора функций напряжений в системе координат, связанной с поверхностью S, а
заданные производные по нормали к S от этих компонентов (см. табл. 3.2).
Величины фав, связаны с заданными поверхностными f и объемиыми F силами равенством
(Г Х Х Г) • п + 00 • п,
где о^э — частное решение уравнений равновесия (6). Таким образом, для отыскания по заданным /* и F необходимо сначала найти частное решение системы трехмерных уравнений с частными производными (6), а затем — частное решение системы двумерных уравнений (10a).
Следует иметь в виду, что эквивалентность (5) и (9), а также (4) и (10), соблодается с точностью до постоянных интегрирования. Если условия (5) заданы на одной связной части поверхности S, то (5) и (9) эквивалентны с точностью до жесткого смещения. В этом случае заданные тангенциальные и изгиб-