Упругости для неоднородных анизотропных тел 3-bob bir hil bo'lmagan anizotrop jismlar uchun elastiklik nazariyasining variatsion tamoyillari

гл а ва 4

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ
УПРУГИХ ТОНКИХ НЕОДНОРОДНЫХ
АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
ПЕРЕМЕННОИ ТОЛЩИНЫ
В данной главе рассматриваются полные и частные функционалы, участвующие в формулировке ва• риационных принципов линейной технической теории тонких оболочек. Соответствующие общие и частные вариационные принципы в различных пространствах состояний могут быть сформулированы на основе общих определений (гл. 2, S 1 ) .
Существует несколько эквивалентных разновидностей теории тонких оболочек, отличающихся выбором деформаций и усилий. В этой книге использован вариант [4.12], который признан авторами работы [4.12] «наилучшим»; он обладает статико-геометрической аналогией, тензорной формой и построен на основе симметричных деформаций, усилий и моментов. О связи этого варианта теории с другими, например [П. 10], [4.11], см. SS 1 и 8. Функционалы, рассматриваемые в данной главе, помещены в табл. 4.1—4.10 в конце книги.
S 1. Вводные замечания
1.1. Снстема координат. Рассматриваемая тонкая иепологая анттзотроиная оболочка переменной толщины имеет срединную (а точиее, базисную) поверхность S с нормалью п, ограиичеииую контуром С. Контур С имеет единичный вектор касательной t и единичный вектор тангенциальной нормали v (т. е. нормали, расположенной в касательной плоскости к поверхности S), рис. 4.1. Поверхность S может быть определена векторным параметриче• скам уравнением
2
где — радиус-вектор точки» лежащей на S, и характеризуется коэффициентамн а уо первой квадратичной формы и Ь уб вто• рой квадратичной формы (у, 6 — 1,2); через суо обозначены

(ГЛ. 4

компоненты Дискриминантного тензора первой квадратичной формы (см. Приложение 2).
Уравнения теории оболочек записывают в специальной кри• волинейной системе координат, нормально связанной с поверхностью S (рис. 4.1). В ней радиус-вектор точки равен R — г (a ^I , 0² ) + гп.
Векто ы локального базиса в точках, лежащих на S, равны: ;г/Да1, Дг/Дсе ² , ез — п. При этом используют понятия

поверхностного вектора и тензора. Компоненты поверхностных векторов имеют иидексы, обозначенные греческими буквами и принимающие значения 1, 2. Символ в данной главе обозначает ковариантную производную на поверхности от компонентов поверхностного тензора (см. Приложение 2).

Рис. 4.1. Криволинейные координа-
гы, нормально связанные с базис-	торых имеют координаты
ной поверхностью оболочки.	а^2) и ^2h2 (если обо.

Оболочка занимает часть трехмерного пространства, ограниченную двумя поверхНОСТЯМИ Sl И S2, ТОЧКИ КО-
а), > и лодка не замкнутая) третьей поверхностью, образованной движением нормали гп вдоль кон• тура С. Величнна h = Ь есть толи!ина оболочки.
1.2. Перемещения и деформации в оболочке. Геометрические уравнеиия. Перемещения точек базисной поверхности S характеризуются вектором и иае ^а + шп,
где Иа — компоненты поверхностного вектора тангенциальных перемещений, а ш — перемещение по нормали к S (прогиб).
Гипотезы Кирхгофа — Лява позволяют приближенно выразить перемсщения vt и деформации еп (i, ј — 1, 2, З) в оболочке как трехмерном теле через перемещения и деформации базисной поверхности S. Гипотеза о прямолинейном нормальном элементе (гипотеза прямых нормалей) сводится к равеиствам

где — углы поворота поверхности S,
— (р аш + Ь2ИВ).
Гипотеза о ненадавливании волокон, т. е. равенство 0 ³³ = 0, по зволиет выразить деформацию аз через е ззар3303 3333