Упругости для неоднородных анизотропных тел 3-bob bir hil bo'lmagan anizotrop jismlar uchun elastiklik nazariyasining variatsion tamoyillari

SSS — а) (01 — 02) . •

— 40 (1 SSS • а . . q dV (5.4)
а при = ф, 01 = 02 = ем •а разность (1) положительна, R > 0. Дополнительные условия ко всем функционалам Лагранжа являются линейными уравнениями и определяют выпуклые подмножества в пространстве переменных (см. гл. 2, S З).
Из выпуклости функционалов Эл — Эм, эл5, Элб и линейности их дополнительных условий следует тот хорошо известный факт, что они в точке стационарности имеют минимум. Минимальность эл4 следует из того, что он получен из эл2 просто заменой переменных.
5.2. Выпуклость различных вариантов функционала Кастильяно и их экстремальность. Все функционалы в табл. 3.2 выпуклы вверх, кроме эк4, который не выпуклый ни вверх, ни вниз.
Докажем выпуклость вверх, например, функционала Экз(о). для этого, как и в S 5.1, вычислим разность
R = аЭкз (01) + (1 — а) Экз (02) — Экз [(101 Ч- (1 — а) 02] dV. (5.5)
Так как о• •Ь• •о— положительно определенная квадратичная форма и 1, то R при любых 01, 02, и Экз— выпуклый верх.
Для доказательства невыпуклости эк4 о, е) достаточно, как и в S 5.1 для эл4 (и, е, о), проверить, что R при —0I = 02 и —и при el
Все дополнительные условия к функционалам эк1 — Экб (табл. 3.2)— линейные уравнения и опре-

[ГЛ. З

деляют выпуклые множества в соответствующих пространствах состояний (см. гл. 2, S З) .
В литературе встречаются два утверждения об экстремальных свойствах функционала Кастильяно: о том, что он в точке стационарности имеет максимум [4. l l] и минимум [0.9, 3.7, 4.10]. Оба утверждения, конечно, правильные, но относятся к разным функционалам: первое— к Экз (табл. 3.2), а второе — к (—Экз). Здесь функционалами Кастильяно названы разновидности Эм — эк6, связанные с функционалами Лагранжа преобразованием Фридрихса и имеющие то же стационарное значение: тах Экј = min Эш.
Максимальность функционалов Эм — Э КЗ, Э Кб, ЭКб в точке стационарности следует из их выпуклости вверх и линейности дополнительных условий (см. Приложение 1 ) , а максимальность ЭК4—из того, что он получен из эк2 заменой переменных.
5.3. Экстремальные свойства полных функционалов лагранжевой серии (табл. 3.3). На основании S З гл. 2 задачам минимизации выпуклых функционалов Эјп — Элз, эл5, Элб (табл. 3.1) соответствуют задачи отыскания седловых точек (т. е. одновременно минимакса и максимина) полных функционалов Эхн — Эпз, Эп5, Элб (табл. 3.3) (см. табл. 3.6). Невыпуклому функционалу эл4 соответствует задача отыскания ми нимакса, но не максимина полного функционала Эп4 (см. S 3.26 гл. 2) . Функционал Эп4а получен из Эп4 путем исключения множителей Лагранжа. Для определения его экстремальных свойств необходимо дополнительное исследование (см. гл. 2, S 3.3), которое показывает, что этот функционал не имеет ни седловой точки, ни минимакса, ни максимина. Действительно, при каждом фиксированном наборе части переменных он линейно зависит от остальных переменных и, следовательно, принимает все значения от .—оо до -4-00, т. е. не имеет ни конечного максимума, ни конечного минимума.
5.4. Экстремальные свойства полных функционалов кастильяновой серии (табл. 3.4). Полные функционалы — Э*пз, Э*п5, Э*п6 (табл. 3.4), выведенные с помощью множителей Лагранжа из выпуклых функ-
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛОВ
ционалов Кастильяно Эм — Экз, Эк, Экб на основании S З гл. 2, имеют в точке стационарности одновременно минимакс и максимин, т. е. седловую точку (см. табл. 3.6). Функционал ЭХ, полученный из невыпуклого варианта функционала Кастильяно
имеет в точке стационарности максимин, но не минимакс, что соответствует S З гл. 2. Дальнейшее преобразование. Э*п4 приводит к полному функционалу Эа4 а, вовсе. не. имеющему экстремумов (сравните с Эп4Ь S 5.3).
5.5. Экстремальные свойства частных функционалов (табл. 3.5). Если известны экстремальные свойства полных функционалов, то можно во многих случаях выявить свойства полученных из них частны.х функционалов с помощью гл. 2, S З.
а) Функционал граничных условий Эг (и, о) (табл. 3.5). С одной стороны, его проще всего получить из полного функционала Рейсснера Э*пз (о, и)
(табл. 3.4), наложив все условия стационарности в объеме. V в качестве дополнительных условий. Так как уравнение. [Ди — 0 не содержит неизвестных и, то на основании гл. 2 S 3.3в можно сделать вывод, что Эг (и, о) имеет в точке стационарности тах min.
С другой стороны, можно вывести Эг из функцио• нала Ху Вашицу (табл. 3.3), также иаложив все условия стационарности в объеме V в качестве дополнительных условий. Уравнение ДЭп2/До 0 не. содержит неизвестных о, и поэтому на основании гл. 2 S 3.3в функционал Эг имеет min тах.
Таким образом, точка стационарности функционала граничных условий Э. Рейсснера ЭГ (и, о) есть
его седловая точка.
б) Функционал для статических граничных условий Эг1 (и) имеет в точке стационарности минимум, так как его можно вывести из функционала Лагранжа эл], имеющего минимум.
в) Функционал для статических граничных условий 3-2 (о) в точке стационарности имеет максимум, так как промежуточным звеном при выводе его из
принципы упругости [гл. з
Э*пз (о, и) (табл. 3.4) служит функционал Кастильяно Экз (о) .
г) Функционал Э; «р, е), условиями стационарно-
сти которого являются статические граничные условия в функциях напряжений и Деформационные граничные условия, в некотором смысле аналогичен функционалу граничных условий Э. Рейсснера ЭГ (и, о). Для доказательства Того, что Э; имеет седловую точку, нужно, по аналогии с S 5.5а, получить его из (табл. 3.3) и из Э*п2 «р, о, е) (табл. 3.4). д) Промежуточным звеном при получении функционала для статических граничных условий в функциях напряжений Э*г1 «р) из Э*п1 ер, еар, хар) (табл. 3.4) служит функционал Кастильяно Эм пр), а при получении функционала для деформационных граничных условий Э*г2 (е) из Эпэ (е, (Р) (табл. 3.3)— функционал Лагранжа Элз (е). Поэтому Э*г1 «р) в точке стационарности имеет максимум, а Э*г2 (е) — минимум
е) Частный функционал Эфг (е, о) получен из Эп2 (и, е, о) (табл. 3.3) при использовании в качестве дополнительных условий уравнений, не содержащих переменную и, и части уравнений ДЭп2/Ди = 0, не содержащих переменную о. На основании гл. 2, S 3.3в Эфг(е, о) имеет седловую точку.
Точно так же можно проверить, что частный функционал Эфе (о, е) имеет седловую точку.
ж) Функционал для геометрических и статических уравнений Эгс (и, е, о) имеет седловую точку:
Эгс min тах — тах min. (5.6)
Для доказательства можно использовать уже известное. экстремальное. свойство функционала Рейсснера Э*пз (о, и). Функционал Эгс можно получить из Э*пз, введя новую переменную и и дополнительное условие о—е• •а — 0. Так как это уравнение связывает новую переменную е лишь с переменной о, по которой Э*пз имеет максимум, то имеет место (5.6).
S 61
Аналогично, используя уже известное экстремаль• ное. свойство полного функционала (е, о), можно доказать, что
з) функционал Эст (ф, о, е) имеет седловую точку. и) Функционалы для физически; уравнений Эф1
и Эф2 имеют седловые точки в соответствии с гл. 2, S 3.3в, так как дополнительные условия к каждому из них можно разделить на две части, одна из которых содержит только переменную е, а другая — только о.
S 6. Вариационные прииципы и экстремальные свойства функционалов теории упругости при разрывных перемещениях, деформациях, напряжениях и функциях напряжений
В контактных задачах, а также при численном решении задач теории упругости, в частности при использовании метода Ритца и метода конечных элементов, иногда возникает необходимость рассматривать в качестве. варьируемых переменных разрывные поля параметров напряженно-деформированного состояния. Теория Куранта — Гильберта позволяет построить для этого случая систему полных и частных функцио• налов и исследовать их экстремальные свойства.
6.1. Определение разрывов. Следуя [0.12], предположим, что область V разделена на конечное число смежных подобластей, в каждой из которых поля перемещений, деформаций и напряжений обладают свойствами непрерывности и дифференцируемости, принятыми в основных уравнениях теории упругости. Эти смежные. области регулярности разделены поверхностями разрывов, на которых некоторые компоненты усилий и дополнительные компоненты перемещений изменяются не обязательно непрерывным образом. Будем использовать термины «статические» и «кинематические», чтобы различать разрывы соответственно в компонентах усилий и перемещений.
Для определения разрыва тензора напряжений о в точке. Р на поверхности разрыва D введен единичный вектор нормали п к поверхности D в точке Р.

[ГЛ. З

Таким образом, указывается направление внешней нормали для одной из смежных областей регулярности и направление внутренней нормали для другой области. Скачок {q} параметра поля q в точке Р определим как разность значений q во второй и первой областях (точнее, как предел разности значений q в точках второй и первой областей при стремлении этих точек к Р).
Ниже будут часто встречаться разрывы скалярных величин Обозначим
где штрих и двойной штрих соответственно указывают, что скалярное умножение вектора усилий .п•о на вектор перемещений и выполняется в подпространстве трехмерного пространства, в котором задан статический или кинематический разрыв.
6.2. Различные варианты функционала Лагранжа с разрывными полями. Говоря о функционале Лагранжа (и), обычно требуют непрерывности перемещений и вместе со своими частными производными, т. е. вместе с деформациями и напряжениями. Эти требования непрерывности можно ослабить. А именно, напряжения о [е (и) ] могут быть лишь кусочно-непрерывными; их непрерывность, как и все условия равновесия, является условием стационарности функционала Эл (и).
Действительно, пусть тензор напряжений может иметь разрывы на поверхности 6, которая разбивает объем V на конечное число частей. Вариация функционала Лагранжа имеет вид
• • 6-5 (Vu -4- uV) —F • би
(f*)' 6udS. (6.2)
Чтобы получить условия стационарности, нужно (2) преобразовать с помощью формулы Остроградского
(см. Приложение 2), учитывая, что

S 61
Так как формула Остроградского применима только к непрерывной функции о. би, то объем V следует разбить на подобъемы, в которых тензор о непрерывен, выполнить преобразование и сложить полученные интегралы. В результате (2) примет вид

+ S S (о . п— f*)' . dS+ {б • п}' • би dG. (6.3)
Равенство (З) показывает, что одно из условий стационарности функционала Эл, — равенство нулю статических разрывов {о•п}', т. е. непрерывность тензора о.
Это справедливо и для остальных разновидностей функционала Лагранжа (табл. 3. l) : отсутствие статических разрывов является их условием стационарности.
Так как в качестве G можно взять любую поверхность, разделяющую объем V на конечное число частей, то можно рассматривать, вообще говоря, любые кусочно-непрерывные поля напряжений. Мы ограничимся рассмотрением полей, которые могут иметь разрывы лишь на заданной поверхности D.
При необходимости рассматривать разрывные поля перемещений принцип минимума потенциальной энергии можно сформулировать следующим образом.
Рассмотрим поля перемещений, непрерывные и дифференцируемые в каждой области регулярности и, возможно, имеющие разрывы на поверхности D. Чтобы среди них найти поле перемещений, соответствующее состоянию равновесия упругого тела, нужно выполнить следующие действия: а) выбрать из заданного множества кусочно-непрерывных полей перемещений непрерывные, т. е. удовлетворяющие условию (1.5) и уравнению

Другими словами, область V разделяется на подобласти с разрывами, которые затем ликвидируются с помощью (4); б) из всех полученных непрерывных по-

[ГЛ. З

лей выбрать такое, которое доставляет минимум функционалу Эл (и) (табл. 3.1). Нетрудно проверить, что условие (4) определяет выпуклое множество.
Таким образом, если при отыскании состояния равновесия рассматриваются кусочно-непрерывные поля перемещений (область поиска расширена), то состояние равновесия характеризуется системой условий (1.5), (4). Действия а) и б) отражают ход решения задачи теории упругости, например, методом конечных элементов.
Само по себе равенство (4) ничего не добавляет к условиям непрерывности, которые участвуют в формулировке вариационной задачи для Эл (табл. 3.1) и не помогает при решении задачи, если решение выполняется с помощью принципа минимума потенциальной энергии. Однако это равенство позволяет переходить к другим функционалам, использование которых может упростить решение.
Как и в S 2, с помощью замены переменных и е, и частного решения уравнения равновесия (1.6) можно получить ряд других разновидностей функционала Лагранжа для разрывных полей перемещений и деформаций; они представлены в табл. 3.7. Одно из условий стационарности для всех этих функционалов— иепрерывность напряжений на D.
Так как функционал Элз зависит только от деформаций и не зависит от перемещений, то условия непрерывности перемещений на поверхности D заменены условиями непрерывности деформаций; для непрерывности перемещений необходимо, чтобы тангенциальные и изгибные деформации поверхности D как границы одной области регулярности были равны соответствующим деформациям D как границы смежной области регулярности.
6.3. Полные функционалы лагранжевой серии с разрывными полями. Вводя в функционал Лагранжа Э^РлЕ— Эћв (табл. 3.7) с множителями Лагранжа все дополнительные условия, в том числе и условие отсутствия кинематических разрывов на поверхности D, можно получить полные функционалы (табл. 3.9), аналогичные табл. 3.3. Их условием стационарности, кроме обычных уравнений теории упругости, приведенных в табл. 3.3, служат условия отсутствия статических и кинематических разрывов» на D. Разрывы тензора функций напряжений и его нормальных производных также будем называть- статическими разрывами.
6.4. Различные варианты фуикциоиала Кастильяио с разрывными полями. Часть условий стационарности — физические и статические уравнения, в том числе и условия отсутствия статических разрывов на D, — можно наложить в качестве дополнительных условий и, исключив кинематические переменные, перейти к различным вариантам . функционала Кастильяно (табл. 3.8). Их условия стационарности— все геометрические уравкения, в том числе и- уеловйя отсутствия кинематических разрывов на D.
6.5. Полные фуикциоиалы кастильяиовой серии с разрывными полями. Из различных вариантов функционалов Кастильяно можно получить полные функционалы, аналогичные табл. 3.4, условия стационарности которых включают отсутствие статических и кинематических разрывов на поверхности D и которые здесь не приводятся.
6.6. Частные фуикциоиалы для разрывных полей отличаются от функционалов, представленных в табл. 3.5, наличием интегралов по поверхности и дополнительных условий на этой поверхности. Они могут быть получены из соответствующих полных функционалов и в данной книге не приводятся.
6.7. Экстремальные свойства функционалов для разрывных полей исследуются точно так же, как в S 6.
Функционалы Эл — Элз, эл5, Элб — выпуклые вниз, эк] — ЭКз, эк5, Экб — выпуклые вверх, эл4 и эк4 — иевыпуклые.
Все функционалы Лагранжа в точке стационарности имеют минимум, функционалы Кастильяно— максимум. Экстремальные свойства всех функционадов с разрывными полями перемещений, деформаций,

напряжений и функций напряжений такие же, как свойства функционалов с непрерывными полями, сводка которых дана в табл. 3.6.
З а м е ч а н и е. Некоторые вариационные принципы теории упругости при разрывных полях перемещений, деформаций и напряжений впервые были рассмотрены без исследования экстремальных свойств в [0.12]. Функционалы с разрывными функциями напряжений и экстремальные свойства получены авторами.
S 7. Развернутая форма записи некоторых функционалов в различных системах коордииат
В данном параграфе приведены характеристики некоторых наиболее употребительных систем координат (метрнческие тензоры, символы Кристоффеля) и рассмотрен переход от тензорной формы записи функционалов к развернутой. Приведен ряд полных н частных функционалов в развернутой форме в криволн нейных координатах.
7.1. Различные системы коордииат, их метрические теизоры и символы Кристоффеля.
7.1.1. Ортогон.альные (прямоугольные) координаты разлнчно, со внда используются чаще всего. В любых ортогональных коордннатах трн компонента метрического тензора равны нулю: = 0 прн i f. Остальные трн компонента обычно заменяют тремя величинамн Hi — параметрами Ляме — по формулам
2
(не суммировать).
Другне формулы для вычислення параметров Ляме:

дг 2 да
где х, у, г— декартовы координаты;
(не суммировать).
Параметры Ляме имеют ясный геометрический смысл: онн являются масштабными факторами, связывающими приращения длин дуг координатных линнй с приращениямн соответствующих им крнволинейных координат:

В табл. 3.I0 приведены компоненты метрического тензора и символы Кристоффеля для некоторых наиболее распространенных
РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ФУНКЦ1.ЮПАЛOВ 95
ортогональных систем коордннат. Эти величины дают возможиостг, легко записать все формулы из SS 2—6 в развернутой форме.
В некоторых системах ортогональных коордннат часть параметров Ляме — константы; поэтому часть снмволов Кристоффеля обращается в нуль, и слагаемые, содержащне производные, еще более упрощаются. Нап нмер, в цилнндрической системе коо дннат Н, — нз 1, 2 = R , а в сферической — Н, — к, — Rsine, Нд 1.
Навболее простой вид все функционалы и их дополнительные и естественные условия имеют в прямоугольной декартовой системе координат, в которой все параметры Ляме равны •единнце, а все символы Кристоффеля равны нулю.
7.1.2. Прямолинейные косоугольные (аффинные) координаты (табл. 3.lO)— важный частный вид координатной системы. Эти координаты удобны, например, прн расчете кристаллов и других тел, имеющих форму наклонного параллелепипеда, призмы или пирамиды.
7.1.3. Особо должна быть рассмотрена система координат, нормально связанных с поверхностью S. Такие координаты используются в теории оболочек. В этих координатах компоненты метрического и дискрнминантного тензоров н символы КрнстофФеля выражаются через коэффициенты первой и второй квадратичны.х форм поверхности S (табл. З. [0).
7.2 Развернутая форма записи функционалов в криволииейных ортогональиых координатах. Чтобы представнть функционалы в развернутой форме, нужно использовать формулы и пра• внла из Приложения 2. Определенную трудность представляет развертывание выражений, содержащих производные.
7.2.1. Развернутая форма записи выражений вида (V.o + F), Р и + uV, VXeXV, е, •а использована в табл. 3.l l—3.l3. Ниже подробно описан переход к развернутой форме первого выраженая н сокращенио — для остальных.
а) Преобразуем запнсь выражения

которое в индексной форме нмеет вид

1. 
   придадим свободному индексу значение 1: В' (о) —
   

2. 
   развернем сумму по р: В (о) — + + + р; З) выполним ковариантное дифференцироваиие:
   

+ Гр20 Р + + Г.З + Г! 0 ³р + F^l ,

4) раскроем суммированне по р н подставнм выраження символов Кристоффеля:
13 +
+ 0212 + Д22, + Д22, 20 21 + Д22, 30 31 +
21
3 1

Дзз, 30 + Fl,

5, 6) выразим компоненты метрнческого тензора дн через параметры Ляме Н²6 выразнм o^iI , Р через фнзнческне компоненты 6(tj), F(f) по формулам Приложення 2; прнведем подобные члены:
(7.7)
Выражение в квадратных скобках совпадает с левой частью уравнення равновесня в крнволинейных ортогональных коордннатах [11.9]. Апалогнчно получаются во) (о) и ВО) (о).
В дальнейшем, чтобы не загромождать запись, скобки при нндексах в развернутых выраженнях, где это ие вызывает двусмысленности, будем опускать. б) Рассмотрим выраженне

В индексной форме:

Выполнение ковариайтного днфференцнрования н развертыванне сумм даег

Прндавая t, ] значения 1, и 1, 2, после замены компонентов метрического тензора Ди на параметры Ляме Н? и компонентов
s n РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ФУНКЦИОНАЛОВ

Скобки у иидексов физических компоиеитов опущены. Приравни• вая Ко (е, и) и Кн (е, и) нулю, можно получить выражеиия для компонентов деформаций е(11) и ео2). Точно так же для других значений индексов i и ј.
в) Посгу'йая аналогичным образом, можно получить развер. нут ую форму записи выражений

или

В силу симметрии различными будут только шесть выражений. [Тапример, при п — 1, К = 2 получим до выполнеиия ковариантного дифференцирования
С) ² (е) — V2V езз
В прямоугольных декартовых координатах, когда ковариаитиые и обычные производные совпадают, получается
33, l2 — (еп, ез1, 2 —
Приравняв Со (е) нулю, приходим к одному из известных уравнений совместности деформаций.
г) Легко получить развернутую форму записи дли

В индексной форме

Переход к физическим компонентам и раскрытие сумм дает

Придавая i, ј значения 1, 2, З и приравиивая 0'/(6, е) иулю, по• лучим уравнения закона Гука. Аналогичным образом можно получигь обратные зависимости е через о, рассмотрев

7.2.2. Развернутая форма записи некоторых функционалов. На примере фуикциоиала Рейссиера Э*пз (б, и) (табл. 34) пока• жем, как преобразуются функционалы. Преобразоваиие выраже• ний, содержащих (5) или (6), ясно из вышерассмотреииого примера. В остальиых членах, содержащихся в объемиом и
4 Н, п s Абовский в ДР,

поверхиостных интегралах, нужио только перейти к фнзическнм компонентам (Прнложенне 2). Напрнмер,

В результате прнходнм к развернутой форме функцнонала (табл. 3.1 1).
В табл. 3.12 представлен полный функционал Эпи (и, е, б) в развернутой форме. Из иего можно получить частиые функцно• налы. используя преобразования Куранта — Гнльберта, не прибегая к развертываиню теизорной записи соответствующнх частиых функционалов.
В табл. 3.13 приведев функционал Эп4а (9. о, е), в котором не выполнено ковариантное дифференцнрованне. Чтобы получнть окоичательную развернутую форму, которая представляет в общем случае криволннейных ортогональных координат громоздкое выраженне, необходимо воспользоваться формулами днффереицировання (Прнложение 2) и выразнть фи через фнзическне компоненты.
Некоторые другне функционалы в развернутой форме приведены в [0.2].