«Ulıwmalasqan funkciyalardıń oramı haqqında»

§ 2. Tuwri kóbeymeniń aniqlamasi
Meyli, f(x) hám g(y) sáykes túrde hám keńisliklerde lokal integrallanıwshı funkciyalar bolsın. f(x)g(y) funkciyası da de lokal integrallanıwshı boladı. Bul funkciya tiykarǵı funkciyaǵa tómendegi formulalar menen tásir etiwshi ulıwmalasqan funkciyanı anıqlaydı:

, (5)

, (5')
(5)–teńlikti ulıwmalasqan funkciyaları-nıń f(x)g(y) tuwrı kóbeymesiniń anıqlaması retinde qabıl etemiz. Bunda –barlıq ulıwmalasqan funkciyalar kópligi.
Solay etip,

ańlatpa maǵanaǵa iye. g(y) hám f(x) funkcionallarınıń úzliksizliginen (5)–funkcionaldıń da úzliksizligi kelip shıǵadı. Biz bunı tiykarǵı funkciyalardıń kóbeymesi bolıp tabılatuǵın tiykarǵı funkciyaǵa qollansaq, onda tuwrı kóbeymeniń anıqlaması boyınsha

(6)
Meyli, hám ulıwmalasqan funkciyalar berilgen bolsın. f(x)g(y) tuwrı kóbeyme menen bir qatarda (5)–formulaǵa sáykes, g(y)f(x) tuwrı kóbeymesi
(5')
formula menen ańlatıladı.
f(x)g(y)=g(y)f(x) (7)
orınlı, yaǵnıy tuwrı kóbeytiw ámeli kommutativ.
Haqıyqatında da,
(8)
túrindegi tiykarǵı funkciyaǵa (7)–teńlik (5) hám (5') anıqlamalardan kelip shıǵadı:




§ 3. Tuwri kóbeymeniń qásiyetleri

a) f(x)g(y) tuwrı kóbeyme f ( nen hám ge) qarata sızıqlı hám úzliksiz, mısalı:

;
da
eger de da.
Úzliksizligin dáliylleymiz. Meyli . (5)–anıqlamadan paydalana otırıp

iye bolamız.
v) Tuwrı kóbeymeniń associativligi: eger , hám , onda
(9)
Haqıyqatında da, eger , onda

.
s) Tuwrı kóbeymeni kóbeytiw: eger – sheksiz differen-ciallanıwshı funkciya bolsa, onda
(10)
Haqıyqatında da, eger , onda



d) f(x)ℓ(y) túrindegi ulıwmalasqan funkciya u ten ǵárezli emes dep aytadı. Ol tómendegi qaǵıyda boyınsha tásir etedi: eger , onda

.
Solay etip,
(11)
teńlikke iye bolamız. Bul teńlik barlıq hám ushın orınlı.
Mısal. tuwrı kóbeymesi tómendegi formula menen tásir etiwshi funkcional:
.
tuwrı kóbeymesi bolıp tabıladı.