«Ulıwmalasqan funkciyalardıń oramı haqqında»

§1. Tiykarǵi hám uliwmalasqan funkciyalar

Házirgi waqıtta ulıwmalasqan funkciyalar matematikanıń hár qıylı bólimlerinde keń taralmaqta. Atap aytqanda, ulıwmalasqan funkciyalar qatań emes túrde fizikler tárepinen ádewir burın qollanıldı.

Ulıwmalasqan funkciyalar teoriyasınıń qáliplesiwinde J.Adamardıń, M.Risstiń taralıwshı integrallarǵa baylanıslı miynetleri áhmiyetli orın tutadı.
Ulıwmalasqan funkciyalardıń anıq hám házirgi túrde qabıl etilgen formasın birinshi reet 1936–jılı S.L.Sobolev kirgizdi. Ol ulıwmalasqan funkciyalardı sızıqlı giperbolikalıq teńlemeler ushın Koshi máselesiniń sheshiminiń jalǵız ekenligi haqqındaǵı máseleni sheshiw ushın qollandı.
1950–1951 jılları L.Shvarctıń “Bólistiriw teoriyası” atlı kitabı jarıq kórdi. Usı kitap baspadan shıǵıwdan eki-úsh jıl ishinde ulıwmalasqan funkciyalar júdá keń taralıp ketti.
aralıqta anıqlanǵan, úzliksiz hám qálegen tártiptegi tuwındıǵa iye bolǵan, sonıń menen birge finit, yaǵnıy shekli aralıqtan sırta nol`ge aynalatugın hár bir haqıyqıy funkciyaǵa tiykarǵı funkciya delinedi.
Dara jaǵdayda, eger tiykarǵı funkciya [a;b] aralıqtan sırtta nol`ge aynalsa, onı [a;b] aralıqqa jámlengen dep ataymız, al [a;b] aralıqtıń ózin funkciyasınıń tasıwshısı (salmaǵı) dep ataydı hám [a; b]= arqalı belgileydi.
Tiykarǵı funkciyalardı bir birine qosıwǵa hám haqıyqıy sanǵa kóbeytiwge boladı, yaǵnıy olar sızıqlı keńislik dúzedi. Tiykarǵı funkciyalar jıynaǵın K arqalı belgileymiz, solay etip K sızıqlı keńislik.
K keńislikte shekke ótiwdiń anıqlamasın beremiz.
tiykarǵı funkciyalar izbe-izligi K keńisliginde nol`ge umtıladı, eger bul funkciyalardıń barlıǵı bir tek bir ǵana shegaralanǵan [a; b] aralıqtan sırta nol`ge aynalatuǵın bolsa hám sonıń menen birge olardıń qálegen tártipli tuwındıları sıyaqlı nol`ge teń ólshemli jıynaqlı bolsa.
bolǵanda nol`ge aynalatuǵın tiykarǵı funkciyaǵa mısal retinde
(2)
funkciyasın alıwǵa boladı. Bul funkciyanıń grafigi

izbe-izligi K keńislikte nol`ge umtıladı.
izbe-izligi kósherde nol`ge óziniń barlıq tuwındıları menen birlikte teń ólshemli umtılǵanı menen K keńislikte nol`ge umtılmaydı, sebebi funkciyalardıń barlıǵı sırtında nol`ge aynalatuǵın ulıwma shegaralanǵan aralıqtıń ózi joq.
Hár bir f(x) ádettegi K keńisliginde
(3)
funkcional sáykes keledi. Bul funkcional sızıqlı, yaǵnıy K dan alınǵan qálegen hám haqıyqıy hám ler ushın
a)
orınlı (f funkcionaldıń sızıqlılıǵı);
b) eger tiykarǵı funkciyalar izbe-izligi K da nol`ge umtılatuǵın bolsa, onda

(f funkcionaldıń úzliksizligi)
Solay etip, (3) ańlatpa K keńisliginde berilgen sızıqlı úzliksiz funkcional bolıp tabıladı.
Sonıń menen birge K keńisliginde (3)–túrge keltirip bolmaytuǵın da sızıqlı úzliksiz funkcionallar bar. Mısal ushın, hár bir funkciyaǵa onıń x₀=0 tochkadaǵı mánisin sáykes qoyıwshı funkcional. Haqıyqatında da, bazı bir ádettegi f(x) funkciya hám qálegen tiykarǵı funkciya ushın

teńlik orınlı dep oylaymız.
Dara jaǵday ushın, joqarıda qaralǵan r , al bolǵanda nol`ge teń bolǵan funkciya ushın
(4)
Biraq da sol jaqtaǵı integral nol`ge umtıladı, bul (4) teńlikke qayshı keledi.
Bul qarastırılǵan funkcionaldı del`ta–funkciya dep ataymız hám arkalı belgilenedi. Solay etip,

K keńisliginde berilgen qálegen sızıqlı úzliksiz funkcional ulıwmalasqan funkciya dep atalınadı, yaǵnıy tómendegi shártlerdi qanaatlandıratuǵın f funkcional
1)
2) eger K da bolsa, onda .
Eger bul funkcional (3)–túrde kórsetiletuǵın bolsa, onı regulyar dep ataymız, eger (3)-túrde kórsetiw múmkin bolmasa, onda singulyar funkcional delinedi.
Joqarıda kórip shıǵılǵan

funkcional singulyar.