Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Значение тождественных преобразований в курсе математики

Программа по математике выделяет в курсе алгебры четыре основных раздела: "Рациональные и иррациональные числа", "Тождественные преобразования", "Уравнения и неравенства", "Элементарные функции".
Раздел "Тождественные преобразования" занимает центральное место. Изучение тождественных преобразований, во-первых, имеет самостоятельное значение. Это обусловлено тем, что данный учебный материал связан со следующими вопросами:
а) обобщение операций над числами, проведение вычислений "в общем виде", обучение использованию букв в математике и ее приложениях;
б) классификация и распознавание алгебраических выражений, преобразование выражений к стандартному виду;
в) рационализация выражений.
Во-вторых, тождественные преобразования играют роль вспомогательного "инструмента" при решении уравнений и неравенств, при исследовании функций и ряде других тем школьного курса математики.
В-третьих, тождественные преобразования имеют большое воспитательное значение, так как они способствуют развитию у учащихся операционного мышления, воспитанию таких качеств личности, как целеустремленность в поиске решения, сообразительность, аккуратность.

2. 
   Алгебраический и функциональный подходы к изложению раздела "Тождественные преобразования"
   

Существует два основных подхода к изложению раздела "Тождественные преобразования": алгебраический и функциональный. Алгебраический подход устремляет внимание к букве и к операциям над буквами. Отправным пунктом функционального подхода является общее понятие функции как соответствия между независимыми и зависимыми переменными.
При алгебраическом подходе на преобразуемое выражение мы смотрим как на формальное выражение, не задумываясь над тем, какие значения принимают входящие в него буквы (с точки зрения алгебры мы его рассматриваем как элемент кольца многочленов от нескольких букв, или поля отношений этого кольца). Тождественность преобразований опирается на правила действий над выражениями (многочленами и рациональными дробями), на свойства действий и правила подстановки и замены равным выражением.
При функциональном подходе алгебраическое выражение трактуется как "поставщик" правила для вычисления значений некоторой функции. Поэтому входящие в выражение буквы понимаются как переменные, а тождественные преобразования опираются на условие равенства функций (т.е. на равенство значений при всех допустимых значениях переменных).
Алгебраический подход является главенствующим в дореформенных и пробных учебниках алгебры, функциональный - в действующих. И в тех, и в других учебниках есть свои достоинства и недостатки. Одним из возможных путей устранения недостатков является путь, основанный на рациональном сочетании алгебраического и функционального подходов.
В любой области знаний, использующей математику, появляется необходимость заменять одно выражение другим, более простым или более удобным, для решения рассматриваемой задачи. Иначе говоря, приходится совершать тождественные преобразования выражений. Они составляют одну из основных линий школьного курса математики.
Проследим цепочку тождественных преобразований от класса к классу. В начальной школе формируются навыки устного выполнения действий над однозначными и двузначными числами. Решение основывается на непосредственном применении свойств действий или на предварительном преобразовании хотя бы одного из компонентов.
В V классе развитие культуры устных вычислений начинается с повторения устной нумерации, которая постепенно расширяется миллиардом. Повторяются арифметические действия и их свойства. Приемы устных вычислений и тождественных преобразований усваиваются более осознанно, особенно при их обосновании с подробными записями:
526 + 241 = (500 + 20 + 6) + (200 + 40 + 1) = (500 + 200) + (20 + 40) + (6 + +1) = 700 + 60 + 7 = 767.
Расширяется и обобщается понятие о числе, вводятся новые действия и тождественные преобразования совершенствуются (введение дробных и отрицательных чисел в VI классе, рациональных чисел в VII классе, изучение степеней и корней и т.д.). Затем в старших классах тождественные преобразования усложняются в связи с рассмотрением логарифмов, тригонометрических функций т. п.
На протяжении всего обучения необходимо отметить важную роль устных упражнений, цель выполнения которых должна сообщаться ученикам (о значении устных упражнений прочитать самостоятельно) [11, с. 84].

3.