Учебное пособие "Методика преподавания математики"

2. Введение логарифмической функции как обратной показательной.
К моменту изучения логарифмической функции учащимся должно быть известно понятие обратной функции и условие, при котором обратная функция существует. Собственно, это то место курса, где впервые по-настоящему используются эти функции.
Введение функции, обратной данной, представляет довольно сложную методическую задачу, поэтому на этом моменте следует остановиться подробнее. Трудность состоит в обосновании необходимости изучения этого материала. В этом случае можно использовать такую игровую ситуацию.
Идет дискотека. Звучит медленный танец. Юноши и девушки танцуют парами. Возникают разные ситуации. Например, все юноши танцуют, но кое-кто из девушек "стоит в сторонке". А может быть, кое-кто из юношей вовсе не умеет танцевать, и часть девушек тоже не танцует. А может быть: Только договоримся, что юноша с юношей, как и девушка с девушкой, тоже не должны танцевать. Если мы покажем все возможные ситуации на языке соответствий, то станет ясно, что случай "все мальчики танцуют" вовсе не означает, что все девочки приглашены. Проще говоря, соответствие в одну сторону далеко не всегда влечет за собой аналогичное соответствие в другую. Но есть и особенная ситуация, пожалуй, наиболее привлекательная: каждому юноше соответствует одна и только одна девушка (такое соответствие является функцией) и одновременно каждой девушке соответствует один и только один юноша (обратное соответствие тоже является функцией). В математике тоже описывается такой случай и описанное обратное соответствие называется обратной функцией. Вводится строгое определение обратной функции, обратимой функции, доказывается теорема об обратимости монотонной функции.
Введя подобным образом необходимые понятия, можно с достаточной точностью говорить о функции как обратной по отношению к y=xⁿ. При этом особое внимание следует уделить использованию монотонности функции y=xⁿ для доказательства ее обратимости. Теперь создана база для сознательного перехода от показательной функции к логарифмической.
Очевидно, что показательная функция как функция монотонная должна иметь обратную функцию. Эту функцию, обратную показательной функции y=a^x (где а>0 и а≠1), условились называть логарифмической и обозначать log_ax.
Учащиеся также знают взаимное расположение графиков данной функции и ей обратной. Это позволяет, не прибегая к аналитическому исследованию свойств логарифмической функции, выявлять ее свойства по графику.
Еще следует отметить, что дальше переходят к изучению производной показательной и логарифмической функций. Построим графики функций y=a^{x ,}a>1 для а=2;3;4. Затем проведем касательные к этим графикам в точке (0,1). Углы наклона этих касательных к оси абсцисс будут равны? (После измерения учащиеся отвечают ≈35°,48°,51°) Проведите прямую, проходящую через точку (0,1) и наклоненную к оси Ох под углом 45°. Построить схематично кривую (частный случай функции у=а^х, а>1), для которой проведенная ранее прямая будет касательной. Эта кривая - есть график функции у=е^х, где 2 < e < 3.
Интересна функция у=е^х еще и тем, что (е^х) =е^х.
Доказано, что число е иррационально и поэтому записывается в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. С помощью электронных вычислительных машин найдено более двух тысяч десятичных знаков числа е. Первые знаки этой дроби таковы: е=2,71828: .
Функцию у=е^х часто называют экспонентой и обозначают ехр х.
Понятие натурального логарифма вводится как логарифм по основанию е.
Однако существует другой вариант изложения теории, которая начинается с определения логарифмической функции:
.
Изучаются свойства функции у=ln х, далее переходят к логарифму по любому основанию а>0, а≠1 (свойства обобщаются). Потом вводятся определения понятий обратной обратимой функций, условие существования обратной функции. И показательная функция изучается как функция обратная логарифмической. Такой подход реализован в учебнике Виленкина Н.Я. и др. "Алгебра и начала анализа" (11 класс) для школ и классов с углубленным изучением математики.