Учебное пособие "Методика преподавания математики"

2. Линейная функция.
Проиллюстрируем данную методическую схему изучения функции на примере линейной функции, изучаемой в настоящее время в курсе алгебры VII класса (10 часов).
Изучение линейной функции можно начать с ряда задач, предложенных ученикам или составленных ими самостоятельно, например:
1)зависимость стоимости телеграммы от числа слов;
2)расстояние, проходимое поездом от некоторой станции в зависимости от времени движения с данной постоянной скоростью, если в начале движения поезд находился на данном расстоянии от станции (в определенном направлении);
3)зависимость количества жидкости, остающейся в баке, от времени ее вытекания, если дана вместимость бака и скорость, с которой жидкость равномерно вытекает, при условии, что бак был полным;
4)зависимость длины одного основания трапеции от длины основания при заданной средней линии.
В каждой задаче лучше задавать числовые данные, тогда получается примерно следующие формулы (при некоторых числовых данных):
1)y=3x+10;
2)y=200-2,5x или y=-2,5x+200;
3) или y=-x+20.
Подобные примеры и приводят к общему виду функциональной зависимости одного и того же характера y=ax+b. Поэтому ученикам можно сказать, что поскольку эти факты и явления (и, наверное, еще многие другие) описываются одной и той же функцией, то естественна такая постановка задачи: присвоить этой функции специальное название и обстоятельно изучить ее свойства.
Функция вида y=ax+b называется линейной.
Далее можно предложить ряд упражнений на узнавание.
1. Чему равны коэффициенты a и b для следующих линейных функций:
y=24 x+13; y=- x+2,7; y=1,47 x-3,8; y=-5+x;
y=- x- ; y=6,9- .
2. Какая функция является линейной:
a) y= xЧx; b) y=2x+6; c)y= ; d) y= ; e) y= ; f) y=2 x?
Обратим внимание на случаи b) и f).
Построим график функций y=2x+6 и у=2х. Для этого сначала изобразим таблицы изменения этих функций. Выясняем, что графиком линейной функции является прямая.
Полезно задать ученикам домашнюю работу: построить графики рассмотренной зависимости при различных значениях а и b (для каждой пары графиков построения выполнить на одном чертеже). Значения а и b следует задать, например:
а= , b=0; a= , b=1;
a=1, b=3; a=1, b=0 и т.д.
В классе нужно рассмотреть хотя бы часть этих графиков, построив их на доске, используя цветные мелки.
Учащиеся легко понимают геометрическое значение а и b. При этом следует показать, что для построения графиков функции y=ax+b при различных значениях b, но при одном и том же значении а нет необходимости строить графики каждой функции по точкам, а достаточно построить график y=ax и сместить его параллельно самому себе, так как ординаты точек, имеющих равные абсциссы, будут отличаться друг от друга на число b, а знак b определит направление этого смещения.
Подметив геометрические значения параметров а и b, полезно выяснить с учениками, в каком случае графики двух линейных функций совпадают, пересекаются, в каких параллельны. Эти сведения пригодятся при графическом решении систем двух уравнений с двумя неизвестными.
После ознакомления учащихся с функциями и их графиками чрезвычайно полезно рассмотреть какую-либо задачу, которая привела бы учеников к пониманию уравнения с одним неизвестным как равенства значений двух функций от одного и того же аргумента, например: определить при какой ширине прямоугольник, длина которого 3 м, имеет площадь, численно равную его периметру. Элементарные рассуждения приводят к тому, что в этом случае периметр прямоугольника выразится (2 х+6) м, а площадь (3 х) м². Так как эти выражения равны по условию, то можно составить уравнение 2 х+6=3х, которое легко решается (х=6).
Вместе с этим каждое из выражений можно рассматривать как функцию у=2 х+6 и у=3 х. Для каждой из них можно построить график (в одной системе координат). Абсцисса точки пересечения х=6 дает то значение функции (у=18), при которой рассматриваемые функции равны.
После изучения понятия возрастания и убывания функций выясняется вопрос: в каком случае линейная функция возрастающая (при а>0) и когда убывающая (при а<0). Необходимо указать, что независимо от значений а и b область задания функции есть любое значение х. Рекомендуется учащимся с помощью учителя составить таблицу.