Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

2-§. 
p
L
fazoning separabelligi 

Quyidagicha aniqlangan chegaralangan o‘lchovli funksiyalar to‘plamini

qaraymiz:
( ), agar
( )
,
( )
,
agar
( )
N
x t
x t
x t
N
x t
N
N
⎧
≤
⎪
= ⎨
>
⎪⎩

Ravshanki, ixtiyoriy

0
ε
> va ixtiyoriy
( )
p
x t
L
∈
uchun yetarlicha katta N larda
( )
N
x t
funksiyani topish mumkinki,
1
( ( ),
( ))
(
( )
( )
)
3
b
p
p
N
N
a
x t x
t
x t
x
t
dt
ε
ρ
=
−
<
∫

(1)
bo‘ladi. C[a,b] fazoning xossasiga ko‘ra ixtiyoriy

ε va ixtiyoriy
( )
N
x t
funksiya
uchun
mavjud bo‘lib,
( )
[ , ]
y t
C a b
∈
(
( ), ( ))
3
N
x t y t
ε
ρ
<

(2)
o‘rinli bo‘ladi.

O‘z navbatida [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgan ixtiyoriy y(t) funksiya uchun
ratsional koeffitsientli p(t) ko‘phad mavjud bo‘lib,
(
)
3
)
(
),
(
ε
ρ
<
t
p
t
y
(3)
o‘rinli bo‘ladi. (1), (2), va (3) munosabatlardan
(
)
ε
ρ
<
)
(
),
(
t
p
t
x
ekanligi kelib
chiqadi.
Ma’lumki, ko‘phadlar to‘plami sanoqli demak, yuqoridagi
mulohazalardan bu to‘plam
( )
P t
p
L
da sanoqli zich to‘plam bo‘ladi. Bu esa
p
L
ning
separabel fazo ekanligini isbotlaydi.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

3-§. Separabel bo‘lmagan fazoga misol 
Endi m fazoning separabel emasligini isbotlaymiz. Buning uchun
1
2
{
( ,
,...),
0 yoki 1}
i
M
x
x x
x
=
=
=
to‘plamni qaraymiz. M to‘plamning har bir
elementi m fazoga tegishli ekanligi ravshan. M to‘plamning ixtiyoriy ikkita
elementi orasidagi masofa 1 ga teng. M to‘plamning quvvati kontinuumga teng,
haqiqatdan ham, har bir M to‘plamdan olingan har bir
1
2
( ,
,..., ...)
i
x
x x
x
=
nuqtaga
1
2
0,
,
,...,
...
i
x x
x
ikkilik kasrni mos qo‘yamiz. Bu moslik o‘zaro bir qiymatli.
Ravshanki, barcha ikkilik kasrlar to‘plamining quvvati kontinuumga teng.

Endi m separabel bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda m ning hamma erida

zich bo‘lgan A to‘plam mavjud bo‘ladi. A to‘plamning har bir elementi atrofida
radiusi
1
3
ε
= ga teng bo‘lgan sharni olamiz. U holda bu sharlarning birlashmasida
m fazoning hamma elementlari joylashgan bo‘ladi. Ammo sharlarning soni ko‘pi
bilan sanoqli bo‘lganligi sababli M to‘plamning kamida ikkita x va u elementi bitta
sharga tegishli bo‘ladi. Shu sharning markazi
х
nuqtada bo‘lsin. U holda

1
1

2
1
( , )
( , )
( , )
3
3
3
x y
x x
x y
ρ
ρ
ρ
=
≤
+
≤ + = ziddiyat kelib chiqadi. Bu ziddiyat
m to‘plamning separabel emasligini isbotlaydi.

Teorema.
Aytaylik, ( , )
X
ρ
separabel metrik fazo bo‘lsin. U holda bu
fazoning ixtiyoriy X
0
qism to‘plami ham
ρ
metrikaga nisbatan separabel metrik
fazo bo‘ladi.

Isboti.
( , )
X
ρ
separabel fazo bo‘lganligi uchun
1
2
{ ,
,...,
,...}
n
A
ξ ξ
ξ
=
sanoqli
to‘plam mavjud bo‘lib,
__
А
=X bo‘ladi.

Ushbu belgilashni kiritamiz:

0
inf
( , ),
1, 2, 3,...
n
n
x X
a
x
n
ρ ξ
∈
=
=

Ixtiyoriy

n, k natural sonlar uchun infimumning xossalariga ko‘ra shunday
,
n m
0
x
X
∈
nuqta topiladiki,
,
1
( ,
)
n
n k
n
x
a
k
ρ ξ
<
+ bo‘ladi. Biror
0
ε
> sonni olaylik va
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

u
1
3
k
ε
< shartni qanoatlantirsin. A to‘plam X ning hamma yerida zich bo‘lganligi
sababli ixtiyoriy
0
0
x
X
∈
uchun shunday n topiladiki,

0
( ,

)
3
n
x
ε
ρ ξ
< bo‘ladi.
Demak,

,
0

1
1
( ,
)
( ,
)
3
3
3
n
n k
n
n
x
a
x
k
k
2
ε ε
ε
ρ ξ
ρ ξ
<
+ ≤
+ < + <

U holda

0
,
0
,
2
( ,
)
( ,
)
( ,
)
3
3
n k
n
n
n k
x x
x
x
ε
ε
ρ
ρ
ξ
ρ ξ
ε
<
+
< +
=
0
.
Shunday qilib, ixtiyoriy
0
x
X
∈
nuqtaning ixtiyoriy atrofida
,
0
n k
x
X
∈

ko‘rinishdagi nuqta mavjud. Ya’ni

,
{
n k
}
x
ko‘rinishdagi to‘plam
fazoning
hamma yerida zich. Demak,
separabel metrik fazo.
0
X
0
X

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

4-§. Metrik fazoda kompakt to‘plamlar
4.1. Kompakt to‘plam ta’rifi, misollar.
To‘g‘ri chiziqning ajoyib xossalaridan biri shuki, undagi chegaralangan har
qanday cheksiz to‘plam kamida bitta limit nuqtaga ega. Bu fakt Bolsano-
Veyershtrass teoremasida o‘z ifodasini topgan. Lekin ixtiyoriy metrik fazoda
bunday sodda natija, umuman aytganda, o‘rinli emas. Shuning uchun quyidagi
savolning qo‘yilishi tabiiy: Metrik fazoda qanday to‘plamlar sinfi uchun Bolsano-
Veyershtrass teoremasining mazmuni saqlanadi? savol munosabati bilan quyidagi
muhim ta’rifni kiritamiz.
1-ta’rif. X metrik fazodagi M to‘plamning elementlaridan tuzilgan
ixtiyoriy ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin
bo‘lsa, u holda M to‘plam X da kompakt deyiladi.
Misollar. 1) Yuqorida keltirilgan, to‘g‘ri chiziqdagi har qanday kesma;
2) Tekislikdagi r>0 radiusli yopiq shar;
3) Tekislikda koordinatalari a
≤
x
≤
b, c
≤
y
≤
d shartlarni qanoatlantiruvchi (x;y)
nuqtalar to‘plami kompakt to‘plamlar bo‘ladi.