Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

2-teorema. Kompakt to‘plam yopiq bo‘ladi.
Isboti. M to‘plam kompakt bo‘lib, yopiq bo‘lmasin deb faraz qilamiz. U
holda yaqinlashuvchi {x
n
}
⊂
M ketma-ketlik mavjud bo‘lib uning limiti (b bilan
belgilaymiz) M ga tegishli bo‘lmaydi. Bu ketma-ketlikdan M to‘plamning a
elementiga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Aks
holda {x
n
} ketma-ketlik ikkita, a va b limitga ega bo‘lar, bu esa mumkin emas.
Demak, M kompakt emas. Teorema isbot bo‘ldi.
Kompakt to‘plamning istalgan yopiq qism to‘plami ham kompakt to‘plam
bo‘lishini isbotlashni o‘quvchiga mashq sifatida qoldiramiz.
4.3. n-o‘lchamli fazoda kompakt to‘plamlar
3-teorema.
n
R
fazoda M to‘plamning kompakt bo‘lishi uchun uning
chegaralangan va yopiq bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zaruriyligi yuqoridagi teoremadan kelib chiqadi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Yetarliligi. Aytaylik M chegaralangan va yopiq to‘plam bo‘lsin. M
chegaralangan bo‘lganligi sababli uni o‘z ichiga oluvchi, n-o‘lchamli
parallelepiped P, ya’ni P={x=(x
1
, x
2
,
…
,x
n
): a
i
≤
x
i
≤
b
i
, i=1,2,
…
,n}, mavjud. Bu
parallelepipedning kompakt to‘plam ekanligi matematik analizdagi Bolsano-
Veyershtrass teoremasi kabi isbotlanadi. Buning uchun parallelepipedni teng
ikkiga emas, balki teng 2
n
bo‘lakka bo‘lish kerak. Endi M to‘plam yopiq va P
kompakt to‘plamning qismi ekanligidan M to‘plamning kompakt ekanligi kelib
chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.
Tekshirish savollari
1. Kompakt to‘plamga ta’rif bering.
2. To‘plam kompakt bo‘lishning zaruriy shartlarini ayting.
3.
n
R
fazoda to‘plamning kompakt bo‘lishi uchun zaruriy va yetarli shartlari
qanday?
Mashqlar
1.
fazoning quyida berilgan to‘plamostilarning qaysilari kompakt
ekanligini aniqlang, javobingizni asoslang:
2
n
R
a) n-o‘lchamli shar;
b) n-o‘lchamli sfera;
c) n-o‘lchamli kub;
d) x
n
=c tekislik;
e) to‘g‘ri chiziq;
f) barcha koordinatalari ratsional bo‘lgan nuqtalar to‘plami.
2. C[0,1] fazoning quyida berilgan to‘plamostilarning qaysilari kompakt
ekanligini aniqlang, javobingizni asoslang:
a) C[0,1] fazoning o‘zi;
b) barcha ko‘phadlar to‘plami;
c) koeffitsientlarining moduli 1 dan katta bo‘lmagan barcha ko‘phadlar
to‘plami;
d) darajasi n dan, koeffitsientlarining moduli 1 dan katta bo‘lmagan barcha
ko‘phadlar to‘plami;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

e)
yopiq birlik shar;
{ || ( ) | 1}
U
f
f x
=
≤
f) birlik sfera.
g)
E={f
∈C[0,1]: f(0)=0, f(1)=1,
|f(x)|
≤1}.
1
0
max
≤
≤x
3. Kompakt to‘plamning yopiq qism to‘plami kompakt bo‘lishini isbotlang.
4. Kompaktlarning kesishmasi kompakt ekanligini isbotlang.
5. Ikkita kompaktning birlashmasi kompakt ekanligini isbotlang.
6. Ixtiyoriy K kompaktda ixtiyoriy
1
2
...
...
n
F
F
F
⊃
⊃ ⊃
⊃
ichma-ich
joylashgan yopiq sharlar ketma-ketligi uchun
1
n
n
F
F
∞
=
=
≠ ∅
∩
ekanligini isbotlang.
7. Agar M to‘plamning ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan ichma-ich joylashgan
yopiq sharlar ketma-ketligi kesishmasi bo‘sh bo‘lmasa, u holda M to‘plamning
kompakt ekanligini isbotlang.
8. Aytaylik, M kompakt to‘plam,
M to‘plamni qoplaydigan
(ya’ni,
1
2
,
,...,
,...
n
G G
G
1
n
n
M
G
=
⊂
∪
) ochiq to‘plamlar sistemasi bo‘lsin.

to‘plamlardan M to‘plamni qoplaydigan chekli qism sistema ajratib olish

mumkinligini isbotlang.
1
2
,
,...,
,...
n
G G
G
9. Faraz qilaylik, M to‘plamning ochiq to‘plamlardan iborat ixtiyoriy
qoplamasidan chekli qoplama ajratib olish mumkin bo‘lsin. U holda M
to‘plamning kompakt ekanligini isbotlang.
10. F orqali {a
1
, a
2
, …, a
n
, …}, bu erda a
1
=0, n>1 da
2
1
2
n
n
a
−
=
, to‘plamni
belgilaymiz. Ushbu
1
1
1
1
,
,
10 2
10 2
n
n
n
n
n
G
a
a
n
−
−
⎛
=
−
+
∈
⎜
⋅
⋅
⎝
⎠
N
⎞
⎟
intervallar sistemasi F
ni qoplaydi. F ning kompaktligini isbotlang. Berilgan intervallar sistemasidan F ni
qoplovchi chekli qism sistema ajrating.
11.
1
1
,
,
2
n
G
n
n
⎛
⎞
= ⎜
⎟
+
⎝
⎠
N
n
∈
intervallar sistemasi (0,1) intervalning ochiq
qoplamasi bo‘ladi. Ushbu qoplamadan chekli qoplama ajratib olish mumkinmi?
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

12. [0,1] kesmaga tegishli bo‘lgan barcha ratsional sonlar to‘plami X ni
nomerlab chiqamiz: X={r
1
, r
2
, …, r
n
, …}. Har bir r
n
ni
1
1
,
10 2
10 2
n
n
n
n
r
r
⎛
⎞
−
+
⎜
⎟
⋅
⋅
⎝
⎠

interval bilan qoplaymiz. Ushbu intervallar sistemasidan X to‘plamning chekli

qoplamasini ajratib olish mumkinmi? Bu to‘plam kompaktmi?

www.ziyouz.com kutubxonasi

---