Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

R
chiziqli
fazo, ya’ni to‘g‘ri chiziq normalangan fazo bo‘ladi.
2) n o‘lchamli
n
R
haqiqiy fazoda x=(x , x , . . . , x ) element uchun normani
quyidagicha kiritamiz:
1
2
n

2
1

п
k
k
х
x
=
= Σ
(1)
Bunda normaning 1, 3 shartlari bajarilishi ravshan, 2 shart esa Koshi –
Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi.
Shu
n
R
fazoning o‘zida quyidagi normalarni ham kiritish mumkin:
1
1
n
k
k
x
x
=
=
∑

(2)
1

|| ||
max |
|
k
k n
x
x
∞
≤ ≤
=

(3)

3) C[a,b] fazoda normani quyidagicha aniqlaymiz: ||
|| max | ( ) |
a t b
f
f t
≤ ≤
=
.
Ravshanki, bu norma uchun ham 1, 3 shartlar bevosita bajariladi. 2 shartining
bajarilishini ko‘rsatamiz.
Har qanday
[ ]
,
t
a b
∈
nuqta va f, g funksiyalari uchun quyidagi munosabatlar
o‘rinli:
(
)( )
( )
( )
( )
( )
max
( )
max
( )
a t b
a t b
f
g t
f t
g t
f t
g t
f t
g t
f
g
≤ ≤
≤ ≤
+
=
+
≤
+
≤
+
=
+
.
Bu yerda t ixtiyoriy bo‘lgani uchun bundan
max (
)( )
a t b
f
g
f
g t
f
≤ ≤
g
+
=
+
≤
+

kelib chiqadi.

www.ziyouz.com kutubxonasi

---

4) m chiziqli fazoda x=(x
1
, x
2
, . . . , x
n
. . .) elementining normasi deb
1
|| || sup |
|
n
n
x
x
≤ <∞
=
songa aytamiz. Bu misol uchun norma aksiomalari bevosita
tekshiriladi.
Normalangan
X
fazoning
X
0
vektor qism fazosi yopiq bo‘lsa, u holda
X
0
ni
normalangan
X
fazoning qism fazosi deyiladi.
Uchinchi misoldagi
[ ]
,
С а b
fazoda olingan
P(x)
ko‘phadlar to‘plami yopiq
bo‘lmagan vektor qism fazoga misol bo‘ladi. Demak, normalangan fazo ma’nosida
P(x)
fazo
ning qism fazosi emas.
[
,
С а b
]
Normalangan
X
fazoda biror
A
to‘plamning chiziqli qobig‘i bo‘lgan
[ ]
L A

vektor qism fazoni olamiz.

[ ]
L A
ni
A
to‘plamning
chiziqli yopilmasi
deyiladi.
Agar elementlarning biror {
x
n
} sistemasi uchun, uning chiziqli yopilmasi
X
fazoning o‘ziga teng bo‘lib qolsa, u holda {
x
n
} sistema
to‘la sistema
deyiladi.
Yuqoridagi
1
R
,
n
R
, C[
a
,
b
] fazolarning to‘laligini ko‘rsatish mumkin,
(masalan [1,2,3] kitoblarga qarang). Demak, ular Banax fazolaridir.
Yana misollar ko‘ramiz.
5)
C
2
[
a
,
b
] – kvadrati bilan integrallanuvchi uzluksiz funksiyalar fazosida
normani quyidagicha kiritamiz:
1
2
2
( )
b
a
x
x t dt
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
∫
.
Norma aksiomalari bevosita tekshiriladi. Uchburchak aksiomasi umumiy
holda isbotlangan Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan kelib chiqadi. Bu fazoning
to‘la emasligi [3] da ko‘rsatilgan.
6)
l
2
haqiqiy fazoda normani
2
1
n
n
x
х
∞
=
=
∑
,
x
=(
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
n
, . . .)
ko‘rinishida kiritsak,
l
2
fazo
B
- fazoga misol bo‘ladi.
Banax fazosiga muhim bir misol ko‘ramiz.
X
kompakt to‘plam bo‘lib,
C(X)
fazo
X
da aniqlangan uzluksiz funksiyalar fazosi bo‘lsin. Ravshanki,
C(X) chiziqli
fazo
bo‘ladi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Bu fazoda normani quyidagicha kiritamiz:
sup
( )
x X
f
f x
∈
=
.
Bu sonning chekli ekanligi II bob 7-paragrafdagi 2-teoremadan kelib
chiqadi. Normaning xossalari esa bevosita tekshiriladi.