Учебное пособие для бакалавров педагогических вузов. Настоящее учебное пособие предназначено для студентов-бакалавров

7.3. Kantor teoremasi.
(X,
ρ
) metrik fazoda uning biror M qism to‘plami va f funksional berilgan
bo‘lsin.
1-ta’rif. Agar ixtiyoriy
ε>0 uchun shunday δ>0 topilsaki,
ρ
(x
1
,x
2
)<
δ shartni
qanoatlantiruvchi har qanday x
1
,x
2
∈
M uchun ushbu

ε
<

−
)
x
(
f
)
x
(
f
1
2

tengsizlik bajarilsa, u holda f funksional M to‘plamda tekis uzluksiz deyiladi.

M to‘plamda tekis uzluksiz funksionalning shu to‘plamda uzluksiz bo‘lishini
ko‘rish qiyin emas.
Haqiqatan,
aytaylik
x
0
nuqta M to‘plamga tegishli bo‘lsin. Hadlari M
to‘plamga tegishli bo‘lib, x
0
nuqtaga yaqinlashuvchi biror {x
n
} ketma-ketlikni tuzib
olamiz. U holda, ixtiyoriy
ε>0 uchun shunday δ>0 topiladiki, yetarlicha katta n
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

larda
ρ
(x
n
,x
0
)<
δ tengsizlikning bajarilishidan |f(x
n
)–f(x
0
)|<
ε
tengsizlikning
bajarilishi kelib chiqadi. Demak, x
0
nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy {x
n
} ketma-
ketlik uchun {f(x
n
)} sonli ketma-ketlik f(x
0
) ga yaqinlashadi. Bu esa f
funksionalning x
0
nuqtada uzluksiz ekanligini bildiradi. Tanlashimizga ko‘ra x
0

nuqta M to‘plamning ixtiyoriy nuqtasi bo‘lganligi sababli, f funksional M

to‘plamda uzluksiz bo‘ladi.

Quyidagi teorema funksional tekis uzluksizligining yetarli shartini

ifodalaydi.
3-teorema
(Kantor). Agar X metrik fazodagi f funksional M kompakt
to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, u holda f funksional shu to‘plamda tekis uzluksiz
bo‘ladi.

Isboti
. f funksional M to‘plamda uzluksiz, lekin tekis uzluksiz bo‘lmasin deb
faraz qilamiz. U holda,
ε musbat son uchun, M to‘plamning
ρ
(x
1
,x
1
’)<1, |f(x
1
)–
f(x
1
’)|
≥ε shartlarni qanoatlantiruvchi x
1
va x
1
’ nuqtalarini tanlab olish mumkin.
Shunga o‘xshash M to‘plamning
ρ
(x
2
,x
2
’)<
1
2
, |f(x
2
)–f(x
2
’)|
≥ε
shartlarni qanoatlantiruvchi x
2
va x
2
’ nuqtalar juftini tanlaymiz. Shu kabi,
ρ
(x
n
,x
n
’)<1/n, |f(x
n
)–f(x
n
’)|
≥ε shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalar juftini tanlash
cheksiz davom ettirilib, {x
n
} va {x
n
’} nuqtalar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz.
Kompakt M to‘plamning nuqtalaridan tuzilgan {x
n
} ketma-ketlikdan
yaqinlashuvchi {
} qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin. Bu qism ketma-
ketlikning limiti x
k
n
х
0
∈
M bo‘lsin. Ikkinchi ketma-ketlikning shu nomerlarga mos
hadlaridan tuzilgan {
’} qism ketma-ketlik ham x
k
n
х
0
nuqtaga yaqinlashadi. Endi
ε≤| f(x
n
)–f(x
n
’)|
≤
| f(x
n
)–f(x
0
)|+ | f(x
0
)–f(x
n
’)|
bo‘lganligi sababli o‘ng tomondagi qo‘shiluvchilarning kamida biri n ga bog‘liq
bo‘lmagan holda
ε/2 dan kichik bo‘la olmaydi. Bu esa funksionalning
uzluksizligiga zid. Teorema isbot bo‘ldi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Tekshirish savollari
1. Uzluksiz akslantirishda kompakt to‘plamning tasviri qanday to‘plam
bo‘ladi?
2. Akslantirish bilan funksional qanday farq qiladi?
3. Tekis uzluksiz funksionalni ta’riflang.
4. Kantor teoremasining mazmunini ayting.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---