170
-qarshi ekanligini bildiradi (4.13,a-
rasm). Tezlik maksimal qiymatiga
/2 da erishadi: u = 2u .
A va B nuqtalarda (
bu nuqtalar kritik nuqtalar hisoblanadi. Bir jinsli oqimda joylashgan manba
(oval markazidan chapga a masofadagi nuqtada) va manfiy manba (xuddi
Renkin ovali atrofidan aylanib potensial oqish
b-rasm).
a b
4.13-rasm. Silindr (a) va oval (b) atrofida aylanib oqishda
Oqimning ixtiyoriy P(x,y) nuqtasidagi tezlik oqimdagi manba va man-
fiy manbalar uchun quyidagi ifodalarni chiqarish bilan topiladi (
=1):
;
.
Quyida qaraladigan
usul tekis oqimlarni tahlil qilishda samarali usullardan biri hisoblanadi.
Yuqorida olingan (4.17) Koshi-
x va y
va funksiyalarning
y
x
i
y
x
,
,
- kompleks kombinatsiyasi
kompleks
W=W(z
mavjudki, uning haqiqiy va mavhum qismlari mos ravishda va
W=
.
171
Berilgan biror nuqtada W(z) funksiya analitik funksiya deyiladi, agar u
W(z) funksiya kompleks potensial deb ataladi.
nazariyasi klassik matematikada juda rivojlangan hisoblanadi. Shuning
tlarni o quv darsliklaridan olish maqsadga muvofiq.
kompleks potensialdan
. (4.39)
Bu ifoda kompleks tezlik deb ataladi. Bu miqdorning moduli tezlikning
. (4.40)
3-masala.
kompleks potensial uchun tezlik potensialini, oqim
funksiyasini va harakat xarakterini aniqlang, bunda a biror haqiqiy son.
Yechish.
va
ekanligini e'tiborga olib, quyidagini
yozamiz:
.
Buni haqiqiy va mavhim qismlarga ajratsak,
va
.
Bunday oqim 2-
Kompleks tezlikni topamiz:
;
;
;
;
,
tezlik bilan harakat qiladi.
Konform akslantirishlar. Akslantirilayotgan shakl ichidagi ixtiyoriy
akslantirishlar konform akslantirishlar yoki almashtirishlar deb ataladi.
172
Konform akslantirishlar suyuqlik va gaz
B
z tekislikda
biror (A
(4.14-rasm). Bu amalning bajarilishi uchun quyidagi shartning bajarilishi
zarur: va z
= f(z) munosabat
akslantiruvchi funksiya deb ataladi.
A konturning ixtiyoriy
nuqtasi sifatida berilgan, masalan 1, nuqtada z
1
ni hisoblab, bu qiymatni
1
qiymatni topish mumkin
va bu
hokazo nuqtalar uchun 2', 3', ... larni topamiz. Natijada tekislikda B
kontur
A kontur B konturga akslantirildi. Bunday
akslantirishni konform akslantirish deb atash qabul qilingan. Kompleks
'(z) hosilaning
xarakterlaydi, uning argumenti esa radius-vektorning burilish burchagini
aniqlaydi.
Bunda analitik funksiya yordamida amalga oshirilayotgan akslantirish
akslantirayotgan funksiyaning hosilasi noldan farqli barcha nuqtalarda bu
burchaklarn
mumkin?
-
kuchini aniqlashdan iborat. Buning uchun qanot atrofida aylanib oquvchi
oqimning har bir nuqtasida zarrachalarning tezliklarini bilish zarur.
Qanotli profil yetarlicha murakkab shakl va nazariy jihardan bundagi
tezliklarni hisoblashning
silindr uchun bu masala osongina yechiladi. Shuning uchun qanotli profil
atrofidan aylanib oqish masalasini silindr atrofidan aylanib oqish
uni
konform akslantirish bilan amalga oshirish mumkin.
4.15-rasmni qaraylik, bunda chapdagi shtrixlangan (profilning
konform aksaltirish bilan profil atrofidan aylanib oqish masalasi silindr
atrofidan aylanib oqish masalasiga keltiriladi.
Silindrning ixtiyoriy nuqtasidagi tezlikni hisoblab, teskari akslantirish
yordamida profilning mos nuqtasidagi tezlikni topish mumkin. Konform
akslantirishning qaralayotgan masalasida aniq shartlar bilan talab
173
qilinayotgan akslantiruvchi funksiyani topish masalasi alohida masaladir.
Yuqorida qaralgan masalaning yechimi N.E.Jukovskiy tomonidan
topilgan, akslantiruvchi funksiya
(4.41)
ko
Jukovskiy funksiyasi deb ataladi.
4.14-rasm. Konform akslantirish
sxemasi.
4.15-rasm. Profil atrofidan
aylanib oqish masalasini silindr
atrofida aylanib oqish
masalasiga akslantirish sxemasi.
Namunaviy masalalar va ularning yechimlari
1-masala.Ushbu
tezlik proeksiya-
lari bilan berilgan suyuqlik oqimidagi A(x,0) va B(0,y) koordinatali
nuqtalarni tutashtiruvchi K
hisoblang, bunda a
Yechish. Biror K
=
chiziqli integralga aytiladi, bunda
- ikkita va
Uyurmasiz oqimda tezlik sirkulyatsiyasini tezlik potensiali orqali
ifodalash mumkin, chunki
=
,
bunda
- potensial funksiyaning qaralayotgan kontur chetlaridagi
statsionar,
- oqim tezligini hisoblab, - tezlik potensialini aniqlash
174
mumkin, bunda r mos nuqtaning qutb radiusi;
burchak esa
munosabatdan topiladi. Bu yerdan kelib chiqadiki, tezlik
vektori nuqtaning qutb radiusiga perpendikulyar.
Shunday qilib,
.
Bu yerdagi oxirgi tenglamani integrallab, funksiya potensialini topamiz:
. Uning bu qiymatiga
oqim funksiyasi mos keladi. Bu
yerdan oqim chiziqlari tenglamasini topamiz:
. Bu
r = C
Endi tezlik sirkulyatsiyasini hisoblaylik:
=
.
=
.
Shuning uchun
sirkulyatsiyag
r = 0)
mavjudligini bildiradi. Bunda uyurma ipidan tashqarida esa oqish
uyurmasizdir.
2-masala.
tezlik potensiali bilan aniqlanuvchi harakat
uchun A(x
1
=0; y
1
=0) va B(x
1
=1; y
1
=1) nuqtalarni
chiziq kesmasi orqali suyuqlik sarfini hisoblang.
Yechish. Siqilmaydigan suyuqlik uchun tezlik potensiali va oqim
oqim uchun oqim funksiyasining quyidagi qiymatini topamiz:
. Bunga
integrallasak,
. Ixtiyoriy c(x) funksiyani aniqlash
bilan
hosilaning qiymatlarini taqqoslaymiz. Natijada
ekanligi va bu yerdan esa c(x)=const ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib,
berilgan oqish uchun
const
y
x
y
)
3
(
2
2
ekan. AB chiziq orqali
175
suyuqlik sarfi oqim funksiyasining chiziq oxirgi nuqtalaridagi qiymatlari
farqidan topiladi, ya ni
.
3-masala. Tekis siqilmaydigan suyuqlik oqimida tezlikning tashkil
etuvchilari ushbu
tenglamalar bilan berilgan
. Oqim funksiyasining ifodasini toping. Potensial oqimda tezliklar
potensiali ifodasini oling.
Yechish.
.
Bu yerda birinchi tenglamadan quyidagini topamiz:
.
x = 0, y = 0
ekanligidan C = 0 va
.
f(x) funksiyani quyidagi shartdan topamiz :
.
Demak,
. Shunday qilib,
.
Suyuqlik harakatining xarakterini aniqlash uchun tezlik rotorining
(uyurmaning)
tashkil etuvchisini topish lozim.
Ma lumki,
ekanligidan
, ya ni suyuqlik oqimi
potensial ekan. Potensial oqim uchun
ekanligidan
.
Xuddi yuqoridagidek, x = 0, y
ekanligidan C
1
=0
va
. Endi esa
ekanligi-
dan
va tezlik potensiali
topiladi.
4-masala. Kompleks potensial ushbu
z
i
z
r
z
U
z
W
o
ln
2
)
/
(
)
(
2
(4.42)
176
oqimlarning
Bu funksiyadan har bir bunday kompleks potensialni ajrating va oqimning
xarakterini aniqlang.
Yechish.
.
potensialini ifodalaydi:
,
,
. Ushbu
kompleks potensial bilan ifodalanuvchi oqimni qaraylik.
=U(x+iy
. Bu oqim
uchun oqim chiziqlari tenglamasi
kompleks potensial uchun Ox
U tezlik bilan ilgarilanma
harakatlanayotgan oqimni ifodalaydi (4.16,a-rasm).
kompleks potensial esa koordinatalar boshida joylashgan
dipoldan tarqalayotgan oqimni ifodalaydi. Bu dipolning momenti
quyidagicha:
(4.16,b-rasm). Dipolning tezliklari potensiali va
oqim funksiyasi quyidagicha:
;
.
a) b) c)
4.16-
a) ilgarilanma oqish; b) dipoldan oqish; c) sirkulyatsion oqish.
Uchinchi
kompleks potensial koordinatalar boshida
sirkulyatsion oqimni
ifodalaydi (4.16,c-rasm).
177
Tekis potensial uyurma bu shunday statsionar tekis uyurmasiz
harakatki, bunda suyuqlik zarrachalari markaziy nuqta (uyurma markazi)
harakardir. Bunga mos keluvchi tezliklar potensialini va oqim funksiyasini
topish uchun
ning ifodasida
almashtirish olib, uni
=
kabi yozamiz.
Shunday qilib,
=
;
=
Bu holda
=const tenglama bilan ifodalanuvchi oqim
aylanalarni
ekanligini bildiradi.
5-masala. Potensial oqim ushbu = -exp(x
2
-y
2
)cos(2xy) ifoda bilan
paketi yordamida tahlil qiling.
Yechish.
potensial suyrilikni ifodalovchi Laplas tenglamasining quyidagi
x = 0 da u = - / x = 0 va y = 0 da v = - / y = 0
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechinidan iborat.
Buning Maple matematik paketi yordamidagi ketma-ket tahlilini
amalga oshirib borish bilan bu jarayonning fizik xossalarini kengroq
tushunib boramiz. Avvalo
komponentalarini, oqim tezligi modulini hisoblash komandalarini ketma-
ket yozamiz:
> phi:=-exp(x^2-y^2)*cos(2*x*y);
> U:=-diff(phi,x);
:=
U
2 x e
(
)
x2
y2
(
)
cos 2 x y
2 e
(
)
x2
y2
(
)
sin 2 x y y
> V:=-diff(phi,y);
> q:=sqrt(U^2+V^2);
178
> simplify(%);
> diff(U,x)+diff(V,y);
Bu oxirgi komanda berilgan
funksiya ifodasining Laplas
tenglamasini qanoat
holda jarayonning oqim chiziqlarini hamda oqim tezligi moduli q ning
taqsimotini qurish mumkin.
> psi:=int(U,y);
> with(plots):
> contourplot(exp(x^2-y^2)*sin(2*x*y),x=-3..3,y=0..0.5, grid=[15,15],
contours=[0.05,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2,4,8,10,12], numpoints=4000);
> contourplot(exp(x^2-y^2)*abs(sin(2*x*y)),x=-2.5..2.5, y=0..0.5,
grid=[15,15],
contours=[0.05,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2,4,8,10,12],numpoints=4000);
> a:=diff(psi,y);
> simplify(%);
4.17-rasm. Deformatsiyalanmay-
potensial suyrilikning oqim
chiziqlari taqsimoti.
4.18-rasm. Tekislikda yassi
potensial sharrachaning
oqim chiziqlari taqsimoti.
179
> contourplot(2*sqrt(exp(2*(x^2-
y^2)*(x^2+y^2))),x=-
1.5..1.5,y=0..1.5,
grid=[15,15],contours=
[0.05,0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.5],
numpoints=4000);
-
laymizki, olingan yechim ushbu
x 3, y<0,5 cheklangan sohadagina
-rasm).
4.19-rasm. Tekislikdagi yassi
potensial sharrachaning oqimida
oqim tezliklari modullarining (q)
qiymatlariga teng chiziqlar taqsimoti:
1 - q=0.05; 2 - q=0.1; 3 - q=0.2; 4 - q=0.4; 5 - q=0.6; 6 - q=0.8; 7 - q=1.0;
8 - q=1.5.
Topshiriqlar
1. Siqilmaydigan ideal suyuqlikning statsionar oqimida doiraviy silindrning
sirkulyatsion suyriligini ifodalovchi ushbu
kompleks potensial uchun natijaviy oqimning tezlik potensialini va oqim
funksiyasini toping. Aylanib oqayotgan konturning tenglamasini
chiqaring
(4-namunaviy masala yechimidan foydalaning).
2. Harakat
kompleks poten-
sial bilan aniqlanadi.
tenglama bilan aniqlanuvchi aylana
orqali suyuqlik s
ylab tezlik
sirkulyatsiyasini toping.
3. Siqilmaydigan ideal suyuqlikning statsionar oqimida doiraviy silindr-
ning sirkulyatsion suyriligini ifodalovchi
- kompleks porensialga mos [-a,a] kesmada plastinkaning
suyriligini ifodalovchi ushbu
)
ln(
2
2
2
a
z
z
i
kompleks potensial uchun oqimning tezlik poten-
180
sialini va oqim funksiyasini toping. Aylanib oqayotgan konturning
tenglamasini chiqaring, hamda shu
taqsimotini toping (4-namunaviy masala yechimidan foydalaning).
4. Siqilmaydigan ideal suyuqlikning statsionar oqimida a va b yarim o qli
ellipsning suyriligini ifodalovchi ushbu
kompleks potensial uchun oqimning tezlik potensialini va oqim
funksiyasini toping. Aylanib oqayotgan konturning tenglamasini
hamda elliptik silindrga ta'sir etayotgan kuch momentini toping (4-
namunaviy masala yechimidan foydalaning).
Sinov savollari
1. Potensial oqim va ularni ustma-
tushunasiz?
2. Potensial oqimni hisoblashning qanday usullarini bilasiz?
3. Manma va manfiy manba uchun oqim funksiyasi qanday ifodalanadi?
4. Doiraviy silindr atrofidan nosirkulyatsion aylanib oqish masalasini
tushuntiring.
5. Renkin ovali nima?
6. Superpozitsiya usulining g oyasini tushuntiring.
7. Potensial harakatda kritik nuqtalarni qanday tushunasiz?
8. Dipol deb nimaga aytiladi?
9. Ideal suyuqlik oqim
10. Konform akslantirish nima?
11. Akslantiruvchi funksiya deb nimaga aytiladi?
12. Jukovskiy funksiyasi va oqim turlarini tushuntiring.
Do'stlaringiz bilan baham: |