Tutash muxitlar mexanikasi

1. Yopishqoq suyuqlik modeli va harakatini koordinatolarda yozilishi
Chiziqli izotrop yopishqoq suyuqlik modeli bilan ish ko’raylik:

(5.51)

Kuchlanish tenzori elementlari p^ij bilan deformatsiya tezliklari tenzori e_ij lar o’rtasidagi bu munosabatlar termodinamik jarayonlarni hisobga olinmaydigan hollardagi munosabatlardan o’z ko’rinishlari bo’yicha farq qilmaydi. lar o’zgarmaslar yoki ko’rilayotgan muhit termodinamik parametrlariga bog’liq bo’lgan holda berilgan, deb faraz qilish mumkin. larni turli yopishqoq suyuqliklar uchun turli o’zgarmaslardan iborat va ular tajribalar asosida aniqlanadi, deylik.

Agar bunday muhit uchun ichki energiya berilgan va ning o’zgarishi ham ma’lum bo’lsa, asosiy tenglamalar sistemasi ko’rish qiyin emaski, quyidagi ko’rinishdagi tenglamalar sistemasini hosil qiladi:

(5.52)

(5.53)

Ma’lumki, (5.51) ni ushbu ko’rinishda ham yozish mumkin:

(5.54)

Suyuqlikning yopishqoqlik xossasi uning harakati davomidagina ro’yobga chiqa oladi deyish mumkin. Uning qiymati temperaturaga ham bog’liq bo’lishidan tashqari deformatsiya tezligi tenzori o’zgarishi bilan o’zgaradi. Tutash muhit zarralari yuzachalari o’rtasidagi o’zaro meхanik kuchlanishlarning urunma yo’nalishlardagi ta’sirlari lar bilan aniqlanadi va ularni yopishqoqlikdagi urunma kuchlanishlar deyiladi. Ular suyuqlik (gaz) muvozanati holatlarida nolga teng bo’lib, ideal suyuqlik modeli kuchlanishi tenzori kabi ifodalanadi. Muvozanatdagi bunday muhitlar harakatga kelishlari bilan (5.54) ning ikkinchi hadi paydo bo’ladi va ularning qiymatlari (5.52) va (5.53) tenglamalarda o’z ifodalarini topadi.

Endi (5.51) munosabatning Dekart koordinatalar sistemasida yozilganligini e’tiborga olib, kuchlanish tenzori ning birinchi invariantini bilan belgilaylik:

(5.52)

(5.51) ni bilan svyortkasini olaylik:

ya’ni

, (5.55)

Kuchlanish tenzori va deformatsiya tezligi tenzori diviatrlarini kiritaylik:

(5.56)

(5.57)

U holda (5.51) asosida yoza olamiz:

(5.58)

(5.51) munosabat o’rniga unga to’la ravishda ekvivalent bo’lgan (5.54) va (5.58) larni olish mumkin. (5.51) munosabatni bu munosabatlar bilan almashtirib qarash yopishqoq suyuqlikning vaqt bo’yicha deformatsiyasini zarra hajmiy va siljishi o’zgarishlariga ajratib qarash imkonini beradi. (5.55) dagi koeffitsienti hajmiy yopishqoqlik koeffitsienti deb ataladi, (5.58) dagi ₁ esa siljish yopishqoqligi koeffitsienti deyiladi. ₁ ning haqiqatan ham siljishdagi yopishqoqlik koeffitsienti ekanligini xususiy holdagi masalada ko’rsataylik. (5.58) ni bosh o’qlarda yozaylik:

, , (5.59)

Bu yerda

Suyuqlikning ox₁ o’qi bo’ylab tekis parallel harakati ushbu tezlik maydoni bilan berilgan deylik:

, (A, B-o’zgarmaslar).

U holda,

dan

,

, ,


bo’lib, qolgan lar nolga tengdir. va lar asosida (5.58) munosabatlar urunma kuchlanishlar va muhit zarrasining o’zgarmas hajmi saqlangan holda uning formasi siljish tufayli o’zgarishi mumkinligini va uning miqdori  koeffitsientiga bog’liqligi kelib chiqadi.

Shunday qilib, chiziqli izotrop yopishqoq suyuqlik modeli tenglamalari-(5.35) tenglamalar o’rniga unga ekvivalent bo’lgan (5.39) va (5.42) tenglamalarni ham olish mumkin va bu so’nggi tenglamalar muhit zarrasi deformatsiyasi va kuchlanishlarini hajm va siljish bilan bog’liq o’zgarishlarga ajratib qarash imkonini beradi

(5.37) tenglamaning o’ng tomoni birinchi hadi, ma’lumki, ichki massaviy kuchlar bajaradigan ish zichligini ifodalaydi va uning uchun ushbu tenglikni olish mumkin:

U holda (5.53) tenglama ushbu ko’rinishga ega bo’ladi:

(5.60)

(5.50) va (5.60) tenglamalarni taqqoslaylik: bo’lib, bu ifoda kompensirlanmagan issiqlik miqdorini beradi.

Endi yopishqoq suyuqlik (gaz) birlik massasi uchun kinetik energiyaning o’zgarishi teoremasini yozaylik:

(5.61)

Bundan meхanik energiya bir qismi ishqalanish bilan yo’qotilishi va uning qiymati birlik massadagi muhit uchun (5.61) tenglama so’nggi hadi bilan aniqlanishi ravshan bo’ladi.

Yuqorida keltirilgan siqiluvchan yopishqoq suyuqlik modelining хususiy holi sifatida ko’rilishi mumkin bo’lgan siqilmas yopishqoq suyuqlik modelini alohida ko’rish mumkin. Yopishqoq suyuqlik dinamik harakati jarayonida uning zarralari hajmlari o’zgarishlari ko’rilayotgan modelni ifodalovchi munosabatlarda boshqa hadlarga qaraganda yetarli darajada kichik bo’lsa, bu hadni e’tiborga olmaslik uchun asos bo’la oladi. Siqilmas yopishqoq suyuqlik meхanik harakatini aniqlash, ya’ni uning bosimi , zichligi va tezlik maydoni vektori larini aniqlash uchun siqilmaslik tenglamasi sharti, uzluksizlik tenglamasi va yopishqoqlik koeffitsienti ₁ o’zgarmas bo’lganda Navye-Stoks tenglamalari bilan beriladi. Issiqlikning oqish tenglamasi esa harakatdagi yopishqoq suyuqlik maydoni nuqtalarida temperaturani alohida aniqlash maqsadida ishlatilishi mumkin.

Bir jinsli siqilmas chiziqli yopishqoq suyuqliklar modelida massaviy kuchlar zichligi nolga teng deb olinsa, tenglamalar sistemasida

, , , ismsiz almashtirishlar kiritsak (bu yerda va –biror хarakterli vaqt va uzunlikdir), tenglamalar ushbu ko’rinishga keladi:

Bu yerda , , lar mos ravishda Struхal, Reynolds sonlari va kinematik yopishqoqlik koeffitsientlari deb ataluvchi o’zgarmaslardir.

Agar va bo’lsa, inersion hadlarni tashlab yuborish mumkin bo’ladi

Tenglamada bo’lsa, suyuqlikdagi yopishqoqlikni ifodalovchi so’nggi hadni tashlab yuborib harakat tenglamasini ancha soddalashtirishga olib kelish mumkin, ya’ni Eyler tenglamalari bilan ish ko’rishga to’g’ri keladi. Bu holda masalani to’la yechish uchun yopishqoqlik xossalari chegaraviy shartlarda o’z ta’sirini saqlab qolishini unutmaslik kerak. Shuning uchun ham yopishqoq suyuqliklarning bunday harakatlarida chegaradan yetarlicha uzoq sohalarda Eyler tenglamalari, chegaraga yetarlicha yaqin sohalarda Navye-Stoks tenglamalari asosida olinadigan tenglamalar - Prandtl tenglamalari deb ataluvchi tenglamalar bilan ish ko’rish, amaliy masalalarni tahlil etish mumkin bo’ladi.

Umuman aytganda, tenglamaning tahlili, jumladan yechimlarning yagonaligi va ustivorli masalalari suyuqlik meхanikasining maхsus dolzarb masalalari qatoriga kiradi.