Tutash muxitlar mexanikasi

3.Yopishqоq suyuqlik, gazlarni harakat va uzluksizlik tеnglamalariga doir masalalar.

1-masala: Siqilmaydigan yopishqoq suyuqlik koaksial joylashgan cheksiz uzun silindrlar joylashgan boʻlib, bu silindrlarning radiuslari va teng. Ular bir-biriga qarama-qarshi yoʻnalishda va burchak tezliklar bilan harakatlanayotgan boʻlsin (6.1-rasm). Bu silindrlar orasidagi bosim taqsimoti topilsin.

6.1-rasm.

Yechish: Silindrik koordinatalar sistemasining oʻqini silindr oʻqi boʻylab yoʻnalgan qilib olamiz. U holda quyidagiga ega boʻlamiz:

Berilgan topologiyada silindrik koordinatalar sistemasida harakat tenglamasi quyidagicha yoziladi:

(6.61)

Navye-Stoks tenglamasining z proyeksiyasi va uzluksizlik tenglamasi aynan bajariladi. (6.61) ifodaning ikkinchi tenglamasidan tezlikni aniqlash uchun unda yopishqoqlik qatnashmaydi.

oʻrin almashtirishni ishlatib, ikkinchi tenglamaning yechimini topamiz:

(6.62)

Integrallash doimiylari a va b larni aniqlash uchun chegaraviy shartlarni quyidagicha olish zarur:

(6.63)

Bu yerdan quyidagilarni olamiz:

(6.64)

Agar boʻlsa, u holda oraliqdagi suyuqlik silindrlarning aylanish tezligiga teng boʻlgan doimiy burchak tezlik bilan harakatlanadilagan absolyut qattiq jism kabi aylanadi.
Keluvchi oqim va silindrning burchak tezligi uncha katta boʻlmasa silindrni oqib oʻtishda koʻtaruvchi kuch

tenglamaga binoan quyidagicha boʻladi:

(6.65)

uoʻtaruvchi kuch yoʻnalishi va uning kattaligi keluvchi oqimning va silindr aylanashining kattaligi va yoʻnalishi bilan aniqlanadi.

Silindrlar orasidagi bosimning taqsimotini (6.61) tenglamalar sistemasining birinchi teneglamasiga binoan topish mumkin:

(6.66)

Doimiy soni chegaraviy shartlarga asosan aniqlanadi:

(6.67)

Agar boʻlsa, u holda . U holda oraliqdagi bosim taqsimoti

(6.68)

shaklda topiladi.

2-masala: 1-masalada suyuqlik oʻrnida gaz boʻlgan holda, ichki silindrning uzunlik birligiga taʼsir etuvchi ishqalanish kuchlarining momenti qanday aniqlanadi.
Yechish: Agar silindrlar orasida gaz boʻlsa, u holda bir jinsli temperaturada ideal gaz holatining Mendeleyev-Klapeyron tenglamasini hisobga olgan holda quyidagini olamiz: (6.69)

bu yerda M - molyar massa, R - universal gaz doimiysi,

T - absolyut temperatura, - zichlik, p - bosim koordinatalarga bogʻliq.

(6.67) chegaraviy shartdan integrallash doimiysi c ni topib, quyidagini aniqlaymiz:

(6.70)

Ichki silindr uzunlik birligiga taʼsir qiluvchi ishqalanish kuchlarining momentini aniqlaymiz:

(6.71)

ning qiymatini qoʻyib va differensiallab, quyidagini olamiz:

(6.72)

U holda ishqalanish kuchlarining momenti uchun quyidagicha formulaga ega boʻlamiz:

(6.73)

Shu narsa aniqlandiki, tashqi silindrning uzunlik birligiga ham teskari ishoraga ega boʻlgan xuddi shunday ishqalanish kuchlarining momenti taʼsir koʻrsatadi.