Tutash muhitlar

Kristoffel simvollarini hisoblash

Quyida Kristoffel simvollarini hisoblash masalasi bilan shug’ullanamiz. Oldindan aytish kerakki, simvollar har qanday tenzorning komponentalari bo’la olmaydilar. Ma’lumki, Evklid fazosida bazis vektorlari kabi aniqlangan edi, bundan

. (6.13)

Agar (6.8) ifodani hisobga olsak, (6.13) ni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

Bu tenglik Kristoffel simvollarining pastki indekslar bo’yicha simmetrikligini, ya’ni ekanligini ko’rsatadi. Kristoffel simvollarini fundamental metrik tenzor komponentalari orqali ifodalash mumkin. Buning uchun quyidagi munosabatlar qaraladi:

bu tengliklarni

ko’rinishda yozish mumkin. Endi bu ifodalarni hadma-had qo’shib, Kristoffel simvollarining pastki indekslar bo’yicha simmetrikligini hisobga olsak,

(6.14)

ifodaga ega bo’lamiz va (6.13) tenglikdan foydalanib, qavslar ichidagi ifodani quyidagicha o’zgartiramiz:

.

Bu tengliklarni hisobga olgan holda (6.14) ning ikkala tomonini ga ko’paytirsak,

ifodaga ega bo’lamiz, bu yerdan izlanayotgan quyidagi munosabat kelib chiqadi:

(6.15)

Qyuidagi koordinatalar sistemasini almashtirganda Kristoffel simvollarini almashtirish formulasini isbotsiz keltiramiz:

bu yerda koordinatalar sistemasidagi lar esa  ⁱ koordinatalar sistemasidagi Kristoffel simvollaridir