Tutash muhitlar

5. Vektorning kovariant hosilasi

Oldingi ma’ruzalardan ma’lumki ixtiyoriy egri chiziqli ¹, ², ³ koordinatalar sistemasida bazis vektorlari o’zgaruvchi vektorlar bo’lib, ular ⁱ koordinatalarning funksiyalari bo’ladilar. Shuning uchun vektorning hosilasini hisoblashda bu faktni hisobga olishga to’g’ri keladi.

Demak,

(6.6)

va bu yerdagi kattalik yana vektordan iborat bo’ladi va uni bazis vektorlari bo’yicha yoyish mumkin. Bu yoyilmaning komponentalarini Г deb belgilaymiz, ya’ni

(6.7)

ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerdagi Г lar koordinatalarning funksiyalari bo’ladilar va Kristoffel simvollari deb ataladilar. Oxirgi (6.7) ifodani (6.6) ga qo’yib

(6.8)

ga ega bo’lamiz. Bu ifodaning o’ng tomonidagi ikkinchi qo’shiluvchi i va k lar bo’yicha yigindidan iborat ya’ni i va k lar gung indekslar. Shuning uchun bu yerdagi i va k larning o’rinlarini almashtirib

(6.9)

ifodaga ega bo’lamiz. Bu ifodada bazis vektorlari oldilaridagi koeffisieyentlar vektorning kontrovariant komponentalaridan olingan kovariant hosilalar deyiladi va kabi belgilanadi.

Demak,

(6.10)

Quyida hosilalarning xossalari bilan tanishamiz.