Tutash muhitlar

Hosil qilingan g- tenzor fundamental metrik tenzor deb ataladi, g_ij kattaliklar- fundamental metrik tenzorning kontravariant bazisdagi kovariant komponentalari, g^ij kattaliklar esa fundamental metrik tenzorning kovariant bazisdagi kontravariant komponentalari deyiladi.

Joyi kelganda biz o’quvchini Yevklid fazosining chuqurroq ta’rifi bilan tanishtirib o’tishni lozim deb hisoblaymiz. Yuqoridagi mulohazalarni fazoning fiksirlangan nuqtasi uchun olib bordik. Bu holda (5.1) kvadratik shaklning koeffisiyentlari o’zgarmas bo’ladi. Algebra kursidan ma’lumki, har qanday o’zgarmas koeffisiyentli kvadratik shaklni kanonik ko’rinishga keltirish mumkin, ya’ni fazoning har bir tanlangan nuqtasi uchun shunday ¹, ², ³ koordinatalarni topish mumkinki, bunda (5.1) kvadratik shakl

(5.10)

ko’rinishga, fundamental metrik tenzorning matrisasi esa quyidagi ko’rinishga keltiriladi

Umuman olganda bunday ishni fazoning har bir nuqtasi uchun bajarib bo’lmaydi, ya’ni (5.10) ko’rinishga keltiradigan ¹, ², ³lar topilmasligi mumkin. Lekin agar, biror fazoning hamma nuqtalari uchun shunday koordinat sistemasi mavjud bo’lsa bu fazo Yevklid fazosi, aks holda Yevklidmas fazo deyiladi.

Demak, YYevklid fazosi uchun fundamental metrik tenzorning matrisasi elementlari 1 lardan iborat bo’lgan diagonal matrisadir. Bundan tashqari matrisalar o’zaro teskari matrisalardir.

Aytilganlarni hisobga olgan holda aralash diad ko’paytmalarning ba’zi xususiyatlari bilan tanishamiz. Yuqorida keltirilgan (5.5) formulaga asosan

(5.11)

bu yerdan

Bu tengliklar vektorining vektorlari tekisligiga, vektorning vektorlari tekisligiga va h.k. ortogonalligini ko’rsatadi. Ana shu faktlar asosida quyidagi munosabatlarni isbot qilish qiyin emas:

a) kontravariant bazis vektorlari uchun

b) kovariant bazis vektorlari uchun

bu yerda “ ” belgisi bilan oddiy vektor ko’paytma belgilangan.

Fundamental metrik tenzordagi kabi bundan oldingi bo’limlarda kiritilgan vektor va tenzorning ta’riflarida ishlatilgan Aⁱ va T^ij komponentalar vektorning va tenzorning kovariant bazisdagi kontravariant komponentalari deyiladi.

Endi vektor va tenzorning kovariant komponentalarini kiritish masalasi bilan tanishamiz. Buning uchun (5.7) formuladan foydalanamiz. Ushbu formulaga asosan ixtiyoriy vektorni

kabi yozish mumkin. Bu yerda

A = A ⁱ g (5.12)

kattaliklar vektorining kontravariant bazisdagi kovariant komponentalari deyiladi. Demak, bu kattaliklar kovariant yo’l bilan almashtiriladilar.

Umumiy holda Aⁱ  A_i .Oxirgi (5.12) formuladan ko’rinadiki metrik tenzorning g_ijkomponentalari yordamida vektorning Aⁱkontravariant komponentalarining indeksini pastga tushirish mumkin. Xuddi shunday g^ijkomponentalar yordamida A_jlarning indeksini yuqoriga ko’tarish mumkin ekan. Vektor uchun qilingan mulohazalarni tenzor uchun ham qo’llash mumkin, ya’ni

bu yerda

(5.13)

kattaliklar to’rtinchi rang T tenzorning kontravariant bazisdagi kovariant komponentalari deyiladi. Qaralayotgan T tenzor uchun (5.7) formulani qisman qo’llab

ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerda

(5.14)

kattaliklar tenzorining aralash komponetalari deyiladi. Yuqoridagi (5.11) formulalardan fundamental metrik tenzorning aralash komponentalari lar ixtiyoriy koordinat sistemasida birlik matrisani tashkil qilishini ko’rish qiyin emas

(5.15)