Toshkent viloyati chirchiq davlat pedagogika instituti matematika va info

Ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalar

O`quvchilarda fanga qiziqishni rivojlantirish, boshlang`ich matеmatika asosiy kursida olinadigan bilimlarni to`ldiruvchi va chuqurlashtiruvchi matеmatik fakt va ma'lumotlar, malaka va ko`nikmalar zahirasini to`plashdan iborat.
Ko’rsatkichli tenglama
Ko‘rsatkichli tenglama tushunchasini tushuntirishdan oldin
o‘qituvchi o‘quvchilarga daraja, ko‘rsatkichli funksiya va ulaming xossalari haqidagi ma’ lumotlarni takrorlash, so‘ngra ko`rsatkichli funksiyaning ta’rifini berish lozim.

Ta`rif. Daraja ko‘rsatkichida noma ’lum miqdor qatnashgan tenglamalar ko‘rsatkichli tenglamalar deyiladi. Masalan, 3<sup>x</sup> = 2<sup>x-1</sup> ,  =0,7<sup>x-2</sup>- va hokazo. a<sup>x</sup> = b tenglama maktab matematika kursidagi eng sodda ko‘rsatkichli tenglamadir. Bu yerda a va b berilgan musbat sonlar bo`lib, а≠1 a> 0 bo`lishi kerak. x esa noma’ lum miqdordir. a^x=btenglama bitta yechimga egadir. Har qanday ko‘rsatkichlitenglama ayniy almashtirishlarni bajarish orqali algeb
raik yoki a^x=b ko‘rinishdagi sodda holga keltirib yechimlari topiladi.
Ko’rsatkichli tenglamalarni yechish darajasi quyidagi xossalarga asoslanadi.
1. Agar o‘zaro ikkita teng darajaning asoslari teng bo’lsa, ularning daraja ko‘rsatkichlari ham o‘zaro teng bo’ladi.
Masalan, agar a^m =aⁿ bo’lsa, m=n bo’ladi, albatta bu yerda а≠0 va а≠ 1, a>0 bo’lishi kerak.
2. Agar o‘zaro teng darajaning ko‘rsatkichlari teng bo’lsa, u holda ularning asoslari ham teng bo’ladi, ya’ni a^m=b^m bo`lsa, u holda a= b bo’ladi. Maktab matematika kursidagi ko‘rsatkichli tenglamalar asoslarini tenglash, kvadrat tenglamaga keltirish, logarifmlash, yangi o ‘zgaruvchini kiritish va gruppalash usullari bilan yechiladi. Bu usullarni quyidagi misollar orqali ko‘rib chiqaylik.
1-misol.
36^x= tenglamani yeching.
Yechish.
Bu tenglama asoslarini tenglash yo’li orqali yechiladi:(36^x = 216^-1), (6^2x = 6^-3) = >(2x= -3) => (x = -  )
Ushbu tenglamani logarifmlash usuli bilan ham yechish mumkin. Logarifm ta’rifiga ko‘ra:x=log₃₆( ) bundan x=log₃₆(216^-1)=- log₆(216)=- chunki log₆(216)=3 ga teng.
2-misol.

52x-5x-600=0 tenglama yechilsin.

Yechish.

Bu tenglama yangi o‘zgaruvchikiritish usuli orqali kvadrat tenglamaga keltirib yechiladi. Agar y=5x desak, berilgan tenglama y2-y-600=0

ko‘rinishni oladi.
Y_1,2 = ₁=25 y₂=24
5^x=y yoki 5^x=25, 5^x=5², x=2
Javob: x = 2
3 - misol.
3x2+1 + 3x2-1 = 270 tenglamani yeching.
Yechish.

3x3 + 3x2 = 270, 3x2 = у desak, 3y+ y=270

yoki =270, bundan у =81, 3x2 =81 yoki 3x2 = 34 bundan x2=4 va x1=2 x2=-
4 - misol.
52x-7x-52x 35+7x35=0 tenglamani yeching.
Yechish.
Tenglama guruppalash yo’li bilan yechiladi.
52x(1-35)=72x(1-35), 52x=7x, x=0
5-misol.

x+ )x=10tenglamani yeching.
Yechish.

Bu tenglamani yechishda( )x =1

ekanligidan foydalanamiz. Agar ( )x= у desak, u holda

( )x= bo‘ladi, bu belgilashlarga ko‘ra tenglama quyidagicha ko‘rinishni oladi. у + =10 , bundan y2-10y+1=0 yoki y1=5—2 va y2=5+2 ga ega bo‘lamiz.

a) 5-2 bo’lsin, u holda

= -1 ,bundan  =-1,x1=-2

b) bo’lsin,u holda  bundan  ,x1=2

Javob: x= -2 va x = 2
6 - misol.
100x= 300 tenglama yechilsin.
Yechish.
Tenglikning ikkala tomonini 10 asosga ko‘ra logarifmlaymiz. xlgl00=lg300.
Bizga ma’ lumki, lgl00=2. Bu yerda lg300=lg(1003)= lgl00+lg3=2+lg3 kabi ayniy almashtirishlar bajaramiz. Bu almashtirishlarga ko‘ra berilgan tenglama x2=2+lg3 ko‘rinishni oladi.

Bundan:
x= kelib chiqadi.

7 - m i s о I.
(23x-  )-6(2x -  )=1
Yechish. Bu tenglamani quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:
(23x- )-6(2x )-1=0

2x-  =y deb belgilasak, u holda

23x-
bo’ladi.

Bu almashtirishlarga ko'ra berilgan tenglama o`zgaruvchi y

ga nisbatan quyidagi ko'rinishni oladi:
y (y2+ 6 )-6y-l =0 yoki y3=1,
y=1,  - bundan
22x-2x-2=0 bo’ladi.
Agar 2x=t desak, u holda tenglama t2 -t -2 = 0 ko‘rinishni oladi.
Uning yechimlari t1=2,t2=-1 bo’ladi. U holda 2x=2 yoki x=1, 2x=-1 tenglama yechimga ega emas.

Javob: x=l