Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

Isbot. Zaruriyligi. Bizga nisbiy kompakt K ⊂ l_p to‘plam berilgan bo‘lsin. U holda u to‘la chegaralangan bo‘lgani uchun, chegaralangan ham bo‘ladi. Endi ikkinchi shartning bajarilishini ko‘rsatamiz.

Biror η > 0 sonni olamiz va K uchun chekli η−to‘r {x₁, x₂,..., x_k} ni quramiz. Har bir x ∈ K uchun η− to‘rga tegishli x_i elementni shunday tanlaymizki, ρ_p (x,x_i) < η bo‘lsin. Har bir x = (ξ₁, ξ₂,...,ξ_n,...) ∈ l_p element uchun S_nx = (ξ₁, ξ₂,...,ξ_n,0, 0,...) va R_nx = (0, 0,...,ξ_n+1, ξ_n+2,...) belgilashlarni kiritamiz. U holda x va θ = (0, 0,...,0, ...) elementlar uchun ρ_p (R_nx,θ) = ρ_p (x,S_nx) ≤ ρ_p (x,x_i)+ρ_p (x_i,S_nx) ≤ ρ_p (x,x_i)+ρ_p (S_nx_i,S_nx)+

+ρ_p (R_nx_i,θ) ≤ 2ρ_p (x,x_i) + ρ_p (R_nx_i,θ) < 2η + ρ_p (R_nx_i,θ) .

Aniqlanishiga ko‘ra, har bir belgilangan x element uchun

.

Shuning uchun, shunday n₀ nomer mavjudki, n ≥ n₀ bo‘lganda barcha i = 1, 2,...,k lar uchun ρ_p (R_nx_i,θ) < η bo‘ladi. Shunday ekan, n ≥ n₀ bo‘lganda

ρ_p (R_nx,θ) < 3η. Agar ixtiyoriy ε > 0 uchun desak,

yoki

bo‘ladi.

Yetarliligi. Chegaralangan K ⊂ `_p to‘plam uchun ε > 0 son qanday bo‘lmasin, shunday n₀ nomer mavjud bo‘lib, ixtiyoriy n ≥ n₀ va x =

(ξ₁, ξ₂, ...,ξ_n,...) ∈ K larda

tengsizlik bajarilsin. Ixtiyoriy ε > 0 uchun K to‘plamning chekli ε− to‘ri mavjudligini ko‘rsatamiz. Berilgan ε > 0 uchun n₀ nomerni shunday tanlaymizki, barcha x ∈ K larda

tengsizlik bajarilsin. K_n0 = { x : x ∈ K} to‘plamni qaraymiz. Har bir x ∈ K da ρ_p ( x,θ) ≤ ρ_p (x,θ) o‘rinli va K chegaralangan to‘plam bo‘lganligi sababli K_n0 ham chegaralangan to‘plamdir.

Har bir x = (ξ₁, ξ₂,..., ,0, 0,...) ∈ nuqtaga (ξ₁, ξ₂,...,ξ_n0) ∈ nuqtani mos qo‘yish bilan to‘plamni

to‘plamga izometrik mos qo‘yamiz. chegaralangan to‘plam bo‘lganligi sababli to‘plam da chegaralangan bo‘ladi. U holda 21.2- natijaga ko‘ra nisbiy kompakt to‘plam bo‘ladi. Demak, unga izomorf bo‘lgan to‘plam ham nisbiy kompaktdir. Shunday ekan, to‘plam uchun chekli {x₁, x₂,..., x_k} elementli to‘r mavjud. Bu to‘plam K uchun ε to‘r bo‘ladi. Haqiqatan ham, ixtiyoriy x ∈ K uchun x ∈ va shunday x_i ∈{x₁, x₂,..., x_k} element mavjud bo‘lib,

bo‘ladi. U holda

ρ_p (x, x_i) = ρ_p (x, x) + ρ_p ( x, x_i) =

Demak, 21.5-teoremaga ko‘ra K nisbiy kompakt to‘plam bo‘ladi. ∆

2. 
   Metrik fazoning to’laligi, separabelligi va kompaktligi bilan bog’liq bo’lgan mashqlar.
   

17. 
    _{metrik fazo separabel ekanligini isbotlang.}
    
18. 
    _{(X,ρ) metrik fazoda zich bo‘lgan separabel qism fazo mavjud bo‘lsa, u holda X fazo ham separabel ekanligini isbotlang.}
    
19. 
    _{R haqiqiy sonlar to‘plamida shunday ρ metrika kiritingki, (R, ρ) separabel metrik fazo bo‘lmasin.}
    
20. 
    _{Ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik chegaralangan ekanligini isbotlang.}
    

<sub>21. s fazo to‘laligini isbotlang.

22. X fazoda va ekvivalent metrikalar bo‘lsin. (X, ) fazo to‘la bo‘lishi uchun (X, fazo to‘la bo‘lishi zarur va kifoyadir. Isbotlang.

23. X metrik fazo bo‘lib, X* uning to‘ldiruvchisi bo‘lsin. X* metrik fazo separabel bo‘lishi uchun X metrik fazo separabel bo‘lishi zarur va kifoyadir. Isbotlang.

24. Kompakt metrik fazo to‘la va separabel ekanligini isbotlang.

25. m metrik fazoda chegaralangan, lekin kompakt bo‘lmagan to‘plamga misol keltiring.</sub>

Xulosa.

Bitiruv malakaviy ishida bayon qilinganlardan ko’rinadiki , ixtiyoriy to’plamda metrika kiritish yo’li bilan uni metric fazoga aylantirish mumkin ekan. Shuningdek, bitta to’plamda metrikani turli hil usullar bilan kiritish imkoniyti bor ekan. Kiritilgan metrikaga qarab metrik fazodagi to’plamlarning ayrim xossalari o’zgarishi ham mumkin. Masalan, to’plam bitta metrikada chegaralangan, ikkinchi metrikada esa chegaralanmagan bo’lishi mumkin ekan. To’la metrik fazoni o’zini-o’ziga qisqartirib akslantirish prinsipidagi qo’zg’almas nuqta tushunchasi algebraic tenglamalar sistemasini yechishda , differensial va integral tenglamalar yechimininhg mavjudligi va yagonaligini isbotlashda , ushbu yagona yechimni topishda juda ham qulay va ko’p ishlatiladigan metod ekan. Funksional ketma-ketlik tushunchasi metric fazoning to’laligini aniqlashda muhim ahamiyat kasb etar ekan. Separabel fazo tushunchasi esa to’plamni metric fazodagi zichlik xossasiga asoslanib ta’riflanadi.

Barcha chegaralangan ketma-ketliklar to’plami m ning separabel fazo emasligi, unda hamma yerda zich bo’lgan sanoqli to’plamning mavjud emasligini ko’rsatadi. Juda ham ko’p ishlatiladigan fazolarda hamma yerda zich bo’lgan sanoqli qism to’plam mavjud ekan. Metric fazoning kompakt bo’lishi uchun uning to’la va to’liq chegaralangan bo’lishi haqidagi hausdorf teoremasi muhim ahamiyatga ega ekan. Shuningdek, funksional fazolarning kompaktlik kriteriyasini aniqlashda to’plamdagi funksionallarning to’liq chegaralanganligi va tekis darajada uzluksizligi tushunchalari alohida ahamiyatga ega bo’ladi. Bulardan ko’rinadiki , funksional fazolarning ko’pgina topologic xossalari ushbu fazoda kiritilgan metrika tushunchasidan tashqari funksional fazodagi funksiyalarning tabiatiga, xossalariga va o’zaro munosabatlariga ham bog’liq ekan.

GLOSSARIY

№