Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

3.6. Maydonlar
3.23-ta’rif. Biror G-to‘plamda ikkita “+” - qo‘shish va “*” - ko‘paytirish binar amallar (munosabatlar) aniqlangan bo‘lib, quyidagi:

1. 
   G-to‘plam 0 (nol) birlik elementli additiv Abel gruppasini tashkil etadi;
   
2. 
   G-to‘plamning noldan farqli elementlari 1(bir) birlik elementli
   

multiplikativ Abel gruppasini tashkil etadi; ko‘paytirish amali assosiativ, ya’ni _a, b, c _ G bo‘lgan elementlar uchun ushbu
a(bc) = (ab)c
munosabat o‘rinli;

3. 
   qo‘shish va ko‘paytirish amallari distributivlik qonuni bilan bog‘langan;
   
4. 
   qo‘shish va ko‘paytirish amallari uchun teskari amallar mavjud: ayirish va bo‘lish (nolga bo‘lishdan tashqari) shartlari bajarilgan bo‘lsa bu <G, +, *> - algebraik tuzilma maydon tashkil etadi deyiladi.
   

3.24-ta’rif. Agar maydon tashkil etuvchi to‘plam q-chekli sondagi elementlardan iborat bo‘lsa, u holda maydon chekli maydon yoki Galua maydoni deyiladi va GF(q) yoki F_q deb belgilanadi.
1-tasdiq. Chekli maydon mavjud bo‘lishi uchun maydonning elementlari sonini ifodalovchi q-tub son bo‘lishi yoki tub sonning darajasi q=p^m, bu yerda p - tub son, m - natural son ko‘rinishida ifodalanashi zarur va yetarli. Bunda p - tub son GF(q) - chekli maydonning xarakteristikasi, m soni GF(q) maydonning GF(p) qism maydonga nisbatan darajasi deyiladi hamda m=1 bo‘lsa, oddiy, aks holda kengaytirilgan maydon deyiladi. Agar p - tub son bo‘lmasa, u holda <G, +, *> - algebraik tuzilmada aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari biror n-asosli modul (mod n) bo‘yicha aniqlangan bo‘lsa, hatto noldan farqli elementga bo‘lish har doim ham mumkin bo‘lavermaydi va bu tuzilma maydon tashkil etmay halqa tashkil etadi.
Har qanday maydonning barcha elementlari to‘plami qo‘shish amaliga ko‘ra additiv Abel gruppasini va noldan farqli barcha elementlari to‘plami ko‘paytirish amaliga nisbatan multiplikativ siklik gruppa tashkil etadi.
Mumkin bo‘lgan har bir q – tartib uchun faqat bitta maydon mavjud, ya’ni barcha q – tartibli chekli maydonlar izomorfdir. Misol uchun, agarda q=p – tub son bo‘lsa, u holda maydonning elementlari 0, 1, ..., (p-1) – sonlar bo‘lib, qo‘shish va ko‘paytirish amallari mod p qo‘shish va ko‘paytirish amallaridan iborat, ya’ni GF(p)=Z/p. Shunday qilib, tub sonli modul bo‘yicha chegirmalar halqasi oddiy maydon tashkil etadi.
2-tasdiq. Ixtiyoriy GF(q) - chekli maydonning noldan farqli elementlari multiplikativ siklik gruppa tashkil etadi.
3.20-ta’rif. Siklik gruppaning - yasovchisi (tuzuvchisi, generatori) chekli
maydonning primitiv elementi deyiladi hamda bu maydonning barcha elementlarini quyidagicha ifodalash mumkin:
GF(q)={0, _, ² , …, ^q2 , ^q1 , ⁰ =1}.