Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI

VA KOMMUNIKASIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT
TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI
KRIPTOGRAFIYANING MATEMATIK
ASOSLARI
O‘quv qo‘llanma
Toshkent 2018
Mualliflar: Akbarov Davlatali Yegitaliyevich, Xasanov Po‘lat Fattoxovich, Xasanov Xislat Po‘latovich, Axmedova Oydin Po‘latovna, Xolimtayeva Iqbol
Ubaydullayevna “Kriptografiyaning matematik asoslari”. O‘quv qo‘llanma. – Toshkent. TATU. 2018 – 208 bet
Ushbu o‘quv qo‘llanmada kriptografiya tarixi, kriptografiyaning asosiy matematik tushunchalari, ta’riflari, teoremalari hamda simmetrik va nosimmetrik kriptografik algoritmlarning matematik asoslari bayon etilgan.
O‘quv qo‘llanmada parametrli funksiyalar va ularning asosiy xossalari, diamatrisalar algebrasi va parametrli elliptik egri chiziqli funksiyalar hamda ular asosida ishlab chiqilgan kriptoalgoritmlar keltirilgan.
Ushbu o‘quv qo‘llanma Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU axborot xavfsizligi va kriptografiya yo‘nalishida ta’lim olayotgan magistrlar uchun mo‘ljallangan. Shuningdek ushbu o‘quv qo‘llanmadan axborot xavfsizligi yo‘nalishida bakalavrlar tayyorlash jarayonida hamda kriptografiya yo‘nalishida ilmiy-tadqiqot olib borayotgan tadqiqotchilar, ilmiy xodimlar va soha mutaxassislari foydalanishlari mumkin.
O‘quv qo‘llanma Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti ilmiy-uslubiy kengashining qarori bilan chop etishga tavsiya etildi (2018 yil “____” “______________” “____”-sonli bayonnoma).
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti,
2018

QISQARTMALAR

1. 
   AES (Advanced AQShning ma’lumotlarni shifrlash standarti. Encryption Standard) –
   
2. 
   AQSh – Amerika Qo‘shma shtatlari.
   
3. 
   GOST 28147-89 – Rossiya Federasiyasining ma’lumotlar-ni shifrlash standarti.
   
4. 
   GOST R 34.10–94 _– Rossiya Federasiyasining diskret logarifmlashga asoslangan elektron raqamli imzo standarti.
   
5. 
   GOST R 34.10-2001 – Rossiya Federasiyasining elliptik egri
   

chiziqda diskret logarifmlashga asoslangan
elektron raqamli imzo standarti.

6. 
   DES (Data Encryption AQShning ma’lumotlarni shifrlash standarti. Standard) –
   
7. 
   DSA (Digital Signature AQShning diskret logarifmlashga Algorithm) – asoslangan elektron raqamli imzo algoritmi.
   
8. 
   EC-DSA-2000 (Elliptic AQShning elliptik egri chiziqda diskret
   

Curve Digital Signature logarifmlashga asoslangan elektron raqamli
Algorithm) _– imzo algoritmi.

9. 
   EC-KCDSA _– Koreyaning elliptik egri chiziqda diskret
   

logarifmlashga asoslangan elektron raqamli imzo algoritmi.

10. 
    EC-GDSA _– Germaniya Federativ Respublikasining
    

elliptik egri chiziqda diskret logarifmlashga asoslangan elektron raqamli imzo algoritmi.

11. 
    EKUB – Eng katta umumiy bo‘luvchi.
    
12. 
    FEAL (Fast Data Yaponiya ma’lumotlarni shifrlash algoritmi.
    

Encryption
Algorithm) –

13. 
    IDEA (International Data Xalqaro ma’lumotlarni shifrlash algoritmi. Encryption Algorithm) –
    
14. 
    KROM – Kalitlarni ro‘yxatga olish markazi.
    
15. 
    NIST (National Institute Standartlar va texnologiyalar milliy instituti of Standards and Technology) –
    
16. 
    MShA – Ma’lumotlarni shifrlash algoritmi.
    
17. 
    PTKK – Psevdotasodifiy ketma-ketlik.
    
18. 
    RSA – Rayvest-Shamir-Adleman algoritmi.
    
19. 
    XOR – 2 modul bo‘yicha qo‘shish.
    
20. 
    O‘z DSt 1092:2005, O‘zbekistonning daraja parametri
    

O‘z DSt 1092:2009 – muammolarining murakkabligiga asoslangan
elektron raqamli imzo bo‘yicha davlat standartlari.

21. 
    ERI – Elektron raqamli imzo.
    
22. 
    ERIA – Elektron raqamli imzo algoritmi.
    
23. 
    EECh – Elliptik egri chiziq.
    

MUNDARIJA

KIRISH……………………………………………………………………...... 9

1. 
   KLASSIK SHIFRLAR VA ASOSIY TUSHUNCHALAR.......……....…… 11
   
   1. 
      Ta’riflar va atamalar ……………………………………….…..……. 11
      
   2. 
      Kriptografiya tarixi…………………………………..…………......... 14
      
      1. 
         Dastlabki kriptografiya davri…………...………………..….. 15
         
      2. 
         Formal kriptografiya davri………………………………...... 18
         
      3. 
         Ilmiy kriptografiya davri……………………………………. 29
         
      4. 
         Kompyuter kriptografiyasi davri……………………………. 35
         
         1. 
            Simmetrik kriptotizimlar………………………........ 36
            
         2. 
            Nosimmetrik kriptotizimlar…….……………….….. 41
            

Nazorat savollari……………………………………………………................ 46

2. 
   TO‘PLAM VA AKSLANTIRISHLAR……………………………………. 47
   
   1. 
      To‘plamlar......………………………………………………………. 47
      
   2. 
      Akslantirishlar.................……………………………………….……. 51
      
   3. 
      Binar munosabatlar .........................………………………..……….. 53
      
   4. 
      Arifmetikaning asosiy teoremasi……………………………….……. 55
      

Nazorat savollari……………………………………………………................. 55

3. 
   TO‘PLAMLAR USTIDA ALGEBRAIK AMALLAR.................................. 56
   
   1. 
      Binar amallar........................................................................................ 56
      
   2. 
      Yarimgruppalar va monoidlar .........…………………………………. 57
      
   3. 
      Gruppalar. Asosiy tushunchalar va ta’riflar.......................................... 56
      
      1. 
         Parametrli multiplikativ gruppa............................................... 59
         
      2. 
         Parametrli funksiyalarning diskret darajaga oshirish
         

funksiyasi xossalariga o‘xshash xossalari........................................... 60

4. 
   Gruppalar morfizmi ............................................................................. 64
   
5. 
   Halqa. Ta’rif va umumiy xossalar........................................................ 67
   
6. 
   Maydonlar............................................................................................. 68
   
   1. 
      Maydon ustida berilgan diamatrisalar algebrasi...................... 69
      
   2. 
      Maydon ustida berilgan elliptik egri chiziq nuqtalari gruppasi............................................................................................. 71
      
   3. 
      Maydon ustida berilgan parametrli elliptik egri chiziq
      

nuqtalari gruppasi…………………………………………………. 84

1. 
   Parametrli elliptik egri chiziq nuqtalari
   

gruppasi……………………………………………………... 84

2. 
   Parametrli elliptik egri chiziq funksiyasi xossalarining elliptik egri chiziq funksiyasiga o‘xshash
   

xossalari…………………........................................................ 86

7. 
   Ko‘phadlar to‘plami. Algebraning asosiy teoremasi............................ 87
   
8. 
   Sonlar nazariyasi elementlari………………………..………..……... 90
   
   1. 
      Eng katta umumiy bo‘luvchi.....……………………………... 90
      
   2. 
      Taqqoslamalar……………………………………..…………. 92
      
   3. 
      Kvadratik chegirmalar………………………………............... 94
      
   4. 
      Murakkab masalalar………………………………..………... 96 Nazorat savollari……………………………………………………………… 98
      
1. 
   SIMMETRIK KRIPTOTIZIMLAR ………………………….....……..…. 101
   
   1. 
      Bir alifboli va ko‘p alifboli o‘rniga qo‘yishlar ……………………… 103
      
      1. 
         Oddiy o‘rniga qo‘yishga asoslangan shifrlash algoritmlarining jadvalli va analitik matematik
         

modellari…………………………………………………………… 103

2. 
   Bir qiymatli va ko‘p qiymatli o‘rniga qo‘yishga asoslangan shifrlash algoritmlarining
   

matematik.modellari…………………..…………………………… 107

3. 
   Bir alifboli va ko‘p alifboli o‘rniga qo‘yishga asoslangan shifrlash algoritmlari akslantirishlarining matematik asoslari va xususiyatlari…………………........................................................... 109
   
1. 
   Vijener shifrlash tizimi ………………….………………................... 112
   

3. 
   O‘rin almashtirishga asoslangan shifrlash algoritmlarining xususiyatlari va matematik modeli……………………………………… 114
   
4. 
   Gammalashtirishga asoslangan shifrlash algoritmlarining matematik
   

asoslari……….....…………………………………………………..…….. 117

5. 
   Ma’lumotlarni shifrlash algoritmlari ……………………………....... 120
   
6. 
   Blokli shifrlar ………………………………………………..……… 124
   
7. 
   Oqimli shifrlash algoritmlarining matematik modellari va xususiyatlari ………………………………………………….................... 131 Nazorat savollari……………………………………………………................. 137
   
1. 
   OSHKORA KALITLI KRIPTOTIZIMLAR ………………………….…... 139
   
   1. 
      Oshkora kalitli kriptotizimlarning umumiy xususiyatlari..................... 139
      
   2. 
      Bir tomonlama funksiyalar………………………………….……...... 140
      
   3. 
      Faktorlash murakkabligiga asoslangan nosimmetrik shifrlar………... 143
      
   4. 
      Chekli maydonlarda diskret logarifmlash masalasining yechimi murakkabligiga asoslangan nosimmetrik shifrlar..………………..……… 146
      
   5. 
      Elliptik egri chiziq gruppasida diskret logarifmlashga asoslangan kriptotizimlar……………………………………....................................... 148
      
      1. 
         Elliptik kriptografiyaning yuzaga kelishi …..…………..…... 148
         
      2. 
         Elliptik egri chiziq nuqtalari gruppasi asosida yaratilgan nosimmetrik shifrlarning umumiy funksional modeli ...................... 151
         
   6. 
      Parametrli gruppadan foydalanishga asoslangan nosimmetrik
      

shifrlar…………..………………………………………………………… 152

1. 
   Parametrli shifrlash usuli ……………………………….…... 153
   
2. 
   Matrisaviy parametrli shifrlash usuli...………………….…... 154
   
3. 
   Elliptik egri chiziqlardan foydalanishga asoslangan shifrlash
   

usuli …………….…………………………………………………. 156

4. 
   RSA shifriga analog parametrli shifrlash usuli ...................... 157
   
1. 
   Kalitlar generasiyasi ………………..………………………….……. 159
   

1. 
   Bardoshli kalitlar ishlab chiqish usullarining matematik asoslari va algoritmlari…......…………………………………...…. 159
   
2. 
   Taqsimotni tasodifiylikka tekshirishning “Xi-kvadrat” mezoni……......………………………………................................. 162
   
3. 
   Kalitlar ochiq taqsimlanish algoritmining matematik asosi haqida………………………………………………….................... 167
   
4. 
   Kriptotizim foydalanuvchilari uchun kalitlarni taqsimlash
   

protokoli…….......................................………………...………….. 172
Nazorat savollari………………………………………………………............ 174

6. 
   AUTENTIFIKASIYA VA ELEKTRON RAQAMLI IMZO ……….…….. 176
   
   1. 
      Autentifikasiya protokoli…………………………………………….. 176
      
   2. 
      Elektron raqamli imzo……………………………………………….. 180
      
      1. 
         Elektron raqamli imzo algoritmlarining umumiy kriptografik xossalari…………………………………............................................. 181 6.2.2. Ochiq kalitli shifrlash algoritmlariga asoslangan elektron raqamli imzo algoritmlarining qo‘llanilishini umumiy matematik
         

modeli……...………………………………………….…………….. 186

3. 
   RSA ochiq kalitli shifrlash algoritmi asosidagi elektron raqamli imzo ........................................................................................ 188
   
4. 
   El Gamal ochiq kalitli shifrlash algoritmi asosidagi elektron
   

raqamli imzo ...………………………..................………. 189

3. 
   Maxsus elektron raqamli imzo algoritmlarining matematik
   

modellari…............................................................................................ 192

3. 
   O‘zbekiston Respublikasining elektron raqamli imzo bo‘yicha
   

davlat standarti………………………………..……………………… 193

3. 
   Elliptik egri chiziqlarga asoslangan elektron raqamli imzo algoritmlari matematik modellari…………………..…………............ 196 Nazorat savollari………………………………………………….……............ 202
   

XULOSA……………………………………………………………………... 204
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………………........ 206