Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

3.1. Binar amallar
Faraz qilinsinki, ixtiyoriy X to‘plam berilgan bo‘lsin. Dekart kvadrat X²=XxX ni X ga ixtiyoriy (fiksirlangan) akslantirish : XxXX shu to‘plam X da berilgan binar algebraik amal deb ataladi [12-13].
Shunday qilib, X ning har qanday tartiblangan elementlari jufti (a, b) ga  (a, b) mos qo‘yiladi. Ba’zida  (a, b) o‘rniga a b yoziladi, ko‘pincha  o‘rnida maxsus simvollar “*” yoki “+” ishlatiladi.
3.1-ta’rif. Binar amal:
1) komutativ deyiladi, agarda amal natijasi uning operand(element)lari
o‘rnini almashtirishga bog‘liq bo‘lmasa, ya’ni
a  b  b * a, a,b  X ;

2. 
   assosiativ deyiladi, agarda (a *b)* c _ a *(b *c), _a,b,c _ X tenglikni qanoatlantirsa;
   
3. 
   alternativ deyiladi, agarda (a*a)*b _ a(a*b) va y*(x*x) _ (y*x),
   

a,b,c_ X tengliklarni qanoatlantirsa.
3.2. Yarimgruppalar va monoidlar
3.2-ta’rif. Bitta va undan ortiq amallar aniqlangan biror Gto‘plam algebraik tizim yoki algebraik tuzilma (struktura) deyiladi.
3.3-ta’rif. Biror G-to‘plamda “*” - binar amal (munosabat) aniqlangan bo‘lib, quyidagi:

1. 
   yopiqlilik – ixtiyoriy elementlar a, b_ G juftiga element c _ G mos qo‘yilgan, bunda c-element a yoki b - element bilan mos tushishi ham mumkin;
   
2. 
   “*”- amal assosiativ, ya’ni _a, b, c _ G bo‘lgan elementlar uchun ushbu
   

a*(b*c) = (a*b)*c
munosabat o‘rinli;

3. 
   G-to‘plamda ushbu a*e = e*a = a shartni qanoatlantiruvchi e birlik element mavjud;
   

3.4-ta’rif. Yopiqlilik shartini qanoatlantiruvchi algebraik tuzilma <G, *> gruppoid deyiladi.
3.5-ta’rif. Yopiqlilik va assosiativlik shartlarini qanoatlantiruvchi algebraik tuzilma <G, *> yarimguppa deyiladi.
3.6-ta’rif. Yopiqlilik va assosiativlik shartlarini qanoatlantiruvchi hamda
birlik elementga ega bo‘lgan algebraik tuzilma <G, *> monoid deyiladi.