Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

3.3. Gruppalar. Asosiy tushunchalar va ta’riflar

Elementar arifmetikada assosiativlik xossasiga ega bo‘lgan qo‘shish va ko‘paytirish amallaridan foydalaniladi. Assosiativlik xossasiga ega bo‘lgan bitta amal aniqlangan algebraik tuzilma gruppa hisoblanadi.
Agar _a _ G element uchun a*a^1 =a^1 *a=e munosabatni qanoatlantiruvchi teskari element a^1 _ G mavjud shartlari bajarilgan bo‘lsa, bu <G, *> - algebraik tuzilma gruppa tashkil etadi deyiladi.
3.7-ta’rif. Gruppada aniqlangan amal “+” - qo‘shish amali xususiyatlariga ega bo‘lib, a-elementga qarama-qarshi ishorali -a – elementdan iborat hamda shunga mos ravishda birlik element 0 (nol) bo‘lsa, bunday gruppa additiv gruppa deyiladi.
3.8-ta’rif. Gruppada aniqlangan amal “*”- ko‘paytirish amali
xususiyatlariga ega bo‘lib, a-elementga teskari element a^1 _ ¹ hamda shunga mos a ravishda birlik element 1 (bir) bo‘lsa, bunday gruppa multiplikativ gruppa deyiladi.
3.9-ta’rif. Multiplikativ gruppa <G, *> siklik deyiladi, agarda shunday element a_G mavjud bo‘lsaki, har bir element b_G uchun shunday natural son k majud bo‘lib, b=a ^k tenglik o‘rinli bo‘lsa. Bu son a multiplikativ gruppaning yasovchisi (tuzuvchisi) deyiladi. Keltirilgan ta’rifdan ixtiyoriy siklik gruppaning kommutativ ekanligi kelib chiqadi.
3.10-ta’rif. Gruppa chekli deyiladi, agarda u chekli sondagi elementlardan iborat bo‘lsa. Bunda chekli gruppa elementlarining soni uning tartibi deyiladi hamda │G│yoki #G ko‘rinishida belgilanadi.
3.11-ta’rif. Agarda <G, *> - algebraik tuzilma gruppa tashkil etib, a, b_G uchun ushbu a*b = b*a tenglik o‘rinli bo‘lsa, bunday gruppa kommutativ yoki Abel gruppasi deyiladi.
3.12-ta’rif. Gruppada aniqlangan amal “+” - qo‘shish amali xususiyatlariga ega bo‘lib, a-elementga qarama-qarshi ishorali -a – elementdan iborat hamda shunga mos ravishda birlik element 0 (nol) bo‘lsa, bunday gruppa additiv gruppa deyiladi.
3.13-ta’rif. Gruppada aniqlangan amal “*”- ko‘paytirish amali
xususiyatlariga ega bo‘lib, a-elementga teskari element a^1 _ ¹ hamda shunga mos a
ravishda birlik element 1 (bir) bo‘lsa, bunday gruppa multiplikativ gruppa deyiladi.
3.14-ta’rif. Multiplikativ gruppa <G, *> siklik deyiladi, agarda shunday element a_G mavjud bo‘lsaki, har bir element b_G uchun shunday natural son k majud bo‘lib, b=a ^k tenglik o‘rinli bo‘lsa. Bu son a multiplikativ gruppaning yasovchisi (tuzuvchisi) deyiladi. Keltirilgan ta’rifdan ixtiyoriy siklik gruppaning kommutativ ekanligi kelib chiqadi.
3.15-ta’rif. Gruppa chekli deyiladi, agarda u chekli sondagi elementlardan iborat bo‘lsa. Bunda chekli gruppa elementlarining soni uning tartibi deyiladi hamda │G│yoki #G ko‘rinishida belgilanadi.