Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

1-misol. y ² _ x³ elliptik egri chiziq uchun (0;0) nuqta silliq nuqta
emasligi ko‘rsatilsin.
Yechish.
f (x, y)  y ²  x³ , f _x^{`</sup> 3x <sup>2</sup> , f <sub>y</sub><sup>`}  2y
bo‘lib, (2) shartga nisbatan ziddiyatga kelinadi. Natijada, (0;0) nuqtaning haqiqatan ham silliq nuqta bo‘la olmasligi kelib chiqadi.
2-misol. y ² _ x³ _ x ² elliptik egri chiziq uchun (0;0) nuqta silliq nuqta
emasligi ko‘rsatilsin.
Yechish. Haqiqatan ham,
f (x, y)  y ²  x³  x² , f _x^{`</sup>  3x <sup>2</sup>  2x, f <sub>y</sub><sup>`}  2y
bo‘lib, (2) shartga nisbatan ziddiyatga kelinadi. Natijada, (0;0) nuqtaning haqiqatan ham silliq nuqta bo‘la olmasligi kelib chiqadi:

Quyida elliptik egri chiziqlarning umumiy kanonik ko‘rinishi hisoblangan ushbu
y ² _ x³ _ ax² _bx _c, (3)
tenglama bilan ish ko‘ramiz, bu yerda a,b,c_Z (a,b,c - butun sonlar) va ko‘phad p(x) _ x³ _ ax² _bx _ c karrali ildizga ega emas deb qaraladi.
Elliptik egri chiziqlarning grafiklari
Yuqorida keltirilgan (3) ko‘rinishdagi egri chiziq grafigini chizish uchun

25. 
    _ x³ _ax ² _bx_c , (4) chizish va Ox – o‘qiga nisbatan simmetrik akslantirish lozim. Bu (4) berilgan funksiya grafigini chizish uchun esa kvadratsiz holidagi funksiya
    
26. 
     x³  ax²  bx  c
    

grafigini chizib olish kerak bo‘ladi. Funksiya grafigining Ox-o‘qi bilan kesishish nuqtalari
x³  ax² bx c  0
tenglamaning yechimlarini topish orqali aniqlanadi. Bu tenglamadan,

a ^{ a }

v  x _{ }x  v  _
3  3
almashtirishdan foydalanib,
v³  pv  q  0
3ba ² keltirilgan tenglama olinadi, bu yerda p_ ,
3
q  227a³ ab3 c.D^_^p_{3 }^3 _^q₂ ^_² ifoda diskriminant deb atalib, keltirilgan tenglamaning ildizlari soni diskriminant qiymatining ishorasiga bog‘liq:

1. 
   D  0 bo‘lsa, bitta haqiqiy ildizga ega, ya’ni funksiya grafigi
   

Ox-o‘qi bilan bitta nuqtada kesishadi;

2. 
   D  0 bo‘lsa, uchta haqiqiy ildizga ega, ya’ni funksiya grafigi
   

Ox-o‘qi bilan uchta nuqtada kesishadi;
s) D _ 0 bo‘lsa, uchta haqiqiy ildizga ega bo‘lib, ularning ikkitasi teng
(karrali), ya’ni funksiya grafigi Ox-o‘qi bilan ikkita nuqtada kesishadi. Keltirilgan hol uchun
z  x³  ax² bx c ,
funksiya grafigi quyidagi ko‘rinishga ega:

Bu grafikdan (4) funksiya grafigini olish uchun, kvadrat ildiz ostidagi ifodaning manfiy bo‘lmagan qiymatlar sohasiga mos keluvchi - aniqlanish sohasining qismi

Ox- o‘qiga nisbatan simmetrik ko‘chiriladi, ya’ni:

Uchta haqiqiy ildizga ega bo‘lgan b) hol uchun z _ x³ _ ax² _bx _c , funksiya grafigi quyidagi ko‘rinishga ega:

Xuddi yuqoridagi fikr va mulohazalarga ko‘ra, bu grafikdan (4) funksiya grafigini olish uchun, kvadrat ildiz ostidagi ifodaning manfiy bo‘lmagan qiymatlar sohasiga mos keluvchi - aniqlanish sohasining qismi

Ox- o‘qiga nisbatan simmetrik ko‘chiriladi, natijada grafik ellips va giperboladan iborat bo‘lgan ikkita qismlar bilan ifodalanadi:

Uchta haqiqiy ildizga ega bo‘lib, ularning ikkitasi teng (karrali) bo‘lgan s) hol uchun
zx³ ax² bxc ,
funksiya grafigi quyidagi ko‘rinishga ega:

Bu grafikdan (4) funksiya grafigini olish uchun, kvadrat ildiz ostidagi ifodaning manfiy bo‘lmagan qiymatlar sohasiga mos keluvchi - aniqlanish sohasinin qismi

Ox- o‘qiga nisbatan simmetrik ko‘chiriladi, natijada grafik umumiy nuqtaga ega bo‘lgan ellips va giperboladan iborat bo‘lgan ikkita qismlar bilan ifodalanadi:

Amalda, y ² _ x³ _ ax² _bx _c - elliptik egri chiziq koeffisiyenti a  0 bo‘lgan y ² _ x³ _bx _ c - elliptik egri chiziqning keltirilgan ko‘rinishidagi ifodasidan hamda uning diskriminanti D 0 bo‘lib, uchta haqiqiy ildizga ega, ya’ni funksiya grafigi Ox-o‘qi bilan uchta nuqtada kesishadigan holatidan foydalanish qulay va samarali tatbiqqa ega.